Номер 375, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (375–376):

375. а) $25^{\frac{1}{2}}, 27^{\frac{1}{3}}, 16^{0,25}$;

б) $25^{\frac{3}{2}}, 27^{\frac{2}{3}}, 16^{1,25}$;

в) $25^{-1,5}, 27^{-\frac{2}{3}}, 16^{-0,75}$.

а) В данном пункте необходимо вычислить значения трех выражений.

1. Для выражения $25^{\frac{1}{2}}$:
Степень с показателем $\frac{1}{2}$ является эквивалентом извлечения квадратного корня. Также можно представить основание 25 как $5^2$ и использовать свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$25^{\frac{1}{2}} = (5^2)^{\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5^1 = 5$.

2. Для выражения $27^{\frac{1}{3}}$:
Степень с показателем $\frac{1}{3}$ является эквивалентом извлечения кубического корня. Представим основание 27 как $3^3$.
$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$.

3. Для выражения $16^{0,25}$:
Сначала преобразуем десятичный показатель 0,25 в обыкновенную дробь: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. Степень с показателем $\frac{1}{4}$ означает извлечение корня четвертой степени. Представим основание 16 как $2^4$.
$16^{0,25} = 16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 2^1 = 2$.

Ответ: 5, 3, 2.

б) В данном пункте необходимо вычислить значения трех выражений с дробными показателями.

1. Для выражения $25^{\frac{3}{2}}$:
Используем свойство $a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $25^{\frac{1}{2}} = 5$.
$25^{\frac{3}{2}} = (25^{\frac{1}{2}})^3 = 5^3 = 125$.
Альтернативный способ — представить 25 в виде $5^2$:
$25^{\frac{3}{2}} = (5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3 = 125$.

2. Для выражения $27^{\frac{2}{3}}$:
Аналогично, используя результат $27^{\frac{1}{3}} = 3$ из пункта а):
$27^{\frac{2}{3}} = (27^{\frac{1}{3}})^2 = 3^2 = 9$.
Альтернативный способ — представить 27 в виде $3^3$:
$27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$.

3. Для выражения $16^{1,25}$:
Преобразуем десятичный показатель $1,25$ в обыкновенную дробь: $1,25 = 1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Используя результат $16^{\frac{1}{4}} = 2$ из пункта а):
$16^{1,25} = 16^{\frac{5}{4}} = (16^{\frac{1}{4}})^5 = 2^5 = 32$.
Альтернативный способ — представить 16 в виде $2^4$:
$16^{\frac{5}{4}} = (2^4)^{\frac{5}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{5}{4}} = 2^5 = 32$.

Ответ: 125, 9, 32.

в) В данном пункте необходимо вычислить значения выражений с отрицательными показателями, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

1. Для выражения $25^{-1,5}$:
Преобразуем показатель в обыкновенную дробь: $-1,5 = -\frac{3}{2}$.
$25^{-1,5} = 25^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{25^{\frac{3}{2}}}$.
Из пункта б) известно, что $25^{\frac{3}{2}} = 125$. Следовательно:
$25^{-1,5} = \frac{1}{125}$.

2. Для выражения $27^{-\frac{2}{3}}$:
$27^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{2}{3}}}$.
Из пункта б) известно, что $27^{\frac{2}{3}} = 9$. Следовательно:
$27^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{9}$.

3. Для выражения $16^{-0,75}$:
Преобразуем показатель в обыкновенную дробь: $-0,75 = -\frac{3}{4}$.
$16^{-0,75} = 16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{3}{4}}}$.
Вычислим значение в знаменателе: $16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$.
Следовательно:
$16^{-0,75} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{125}, \frac{1}{9}, \frac{1}{8}$.