Номер 378, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

378. Исследуем. При каких значениях $a$ уравнение $(ax)^{1/3} = \sqrt[3]{a}$:

a) имеет единственный корень;

б) имеет бесконечное множество корней;

в) не имеет корней?

Рассмотрим данное уравнение: $(ax)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$.

По определению, корень нечетной степени (в данном случае, третьей) определён для любого действительного числа. Выражения $(ax)^{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[3]{a}$ эквивалентны $\sqrt[3]{ax}$ и $\sqrt[3]{a}$ соответственно и определены для любых действительных $a$ и $x$.

Перепишем уравнение:

$\sqrt[3]{ax} = \sqrt[3]{a}$

Для решения возведем обе части уравнения в третью степень. Это преобразование является равносильным, так как функция $y = t^3$ является строго монотонной на всей числовой оси, что гарантирует сохранение множества корней.

$(\sqrt[3]{ax})^3 = (\sqrt[3]{a})^3$

$ax = a$

Теперь проанализируем полученное линейное уравнение с параметром $a$ для ответа на поставленные вопросы.

а) имеет единственный корень

Линейное уравнение вида $Ax=B$ имеет единственный корень тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ не равен нулю. В нашем случае уравнение имеет вид $ax=a$, и коэффициент при $x$ равен $a$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень при $a \neq 0$. При выполнении этого условия мы можем найти этот корень, разделив обе части уравнения на $a$:

$x = \frac{a}{a} = 1$

Таким образом, при любом значении $a$, не равном нулю, уравнение имеет единственный корень $x=1$.

Ответ: при $a \neq 0$.

б) имеет бесконечное множество корней

Линейное уравнение $ax=a$ имеет бесконечное множество корней, если оно обращается в верное числовое равенство вида $0 \cdot x = 0$. Это происходит, когда и коэффициент при $x$, и свободный член равны нулю. В нашем уравнении это соответствует случаю, когда $a=0$.

Подставим $a=0$ в уравнение $ax=a$:

$0 \cdot x = 0$

Это равенство является верным для любого действительного значения $x$. Значит, при $a=0$ исходное уравнение имеет бесконечное множество корней.

Ответ: при $a=0$.

в) не имеет корней

Линейное уравнение $ax=a$ не имеет корней, если оно приводится к неверному равенству вида $0 \cdot x = C$, где $C \neq 0$. Это происходит, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член — отличен от нуля.

Для уравнения $ax=a$ это означало бы, что $a=0$ (коэффициент при $x$) и одновременно $a \neq 0$ (свободный член). Эти два условия противоречат друг другу.

Следовательно, не существует таких значений параметра $a$, при которых данное уравнение не имело бы корней.

Ответ: таких значений $a$ не существует.