Номер 389, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

389. а) $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}} \cdot a^{-\frac{1}{8}}$;

б) $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} : x^{-\frac{3}{16}}$.

а)

Для решения данного примера необходимо упростить выражение. Сначала преобразуем выражение с вложенными корнями в степенное выражение с дробным показателем, используя свойство $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ и свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Мы будем двигаться от самого внутреннего корня к внешнему.

1. Преобразуем первый множитель $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}$:
Начнем с внутреннего выражения: $\sqrt{a\sqrt{a}} = \sqrt{a \cdot a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{a^{1+\frac{1}{2}}} = \sqrt{a^{\frac{3}{2}}} = (a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{4}}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}} = \sqrt{a \cdot a^{\frac{3}{4}}} = \sqrt{a^{1+\frac{3}{4}}} = \sqrt{a^{\frac{7}{4}}} = (a^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{8}}$.

2. Теперь выполним умножение полученного выражения на второй множитель $a^{-\frac{1}{8}}$, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$a^{\frac{7}{8}} \cdot a^{-\frac{1}{8}} = a^{\frac{7}{8} + (-\frac{1}{8})} = a^{\frac{7-1}{8}} = a^{\frac{6}{8}} = a^{\frac{3}{4}}$.

Ответ: $a^{\frac{3}{4}}$

б)

Данный пример решается аналогично. Сначала упростим выражение с вложенными корнями, представив его в виде степени с дробным показателем, а затем выполним деление.

1. Преобразуем делимое $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}$:
$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}} = \sqrt{x\sqrt{x \cdot (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}}} = \sqrt{x\sqrt{x \cdot x^{\frac{3}{4}}}}$
Продолжаем упрощение:
$\sqrt{x\sqrt{x^{1+\frac{3}{4}}}} = \sqrt{x\sqrt{x^{\frac{7}{4}}}} = \sqrt{x \cdot (x^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{x \cdot x^{\frac{7}{8}}}$
И завершаем:
$\sqrt{x^{1+\frac{7}{8}}} = \sqrt{x^{\frac{15}{8}}} = (x^{\frac{15}{8}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{15}{16}}$.

2. Теперь выполним деление, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$x^{\frac{15}{16}} : x^{-\frac{3}{16}} = x^{\frac{15}{16} - (-\frac{3}{16})} = x^{\frac{15}{16} + \frac{3}{16}} = x^{\frac{15+3}{16}} = x^{\frac{18}{16}} = x^{\frac{9}{8}}$.

Ответ: $x^{\frac{9}{8}}$