Номер 396, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

396. a) $4a - b^{\frac{1}{2}};$

б) $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}};$

в) $x^3 - \sqrt{y};$

г) $\sqrt{x} - \sqrt{y}.$

Например:

$\sqrt{a} - b = a^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{4}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}).$

а) Для того чтобы разложить выражение $4a - b^{\frac{1}{2}}$ на множители, воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Для этого представим каждый член исходного выражения в виде квадрата. Первый член: $4a = (2\sqrt{a})^2 = (2a^{\frac{1}{2}})^2$. Второй член: $b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{4}})^2$. Таким образом, выражение принимает вид: $4a - b^{\frac{1}{2}} = (2a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2$. Применяя формулу разности квадратов, где $A=2a^{\frac{1}{2}}$ и $B=b^{\frac{1}{4}}$, получаем искомое разложение.
Ответ: $(2a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{4}})(2a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{4}})$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$, применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Представим каждый член в виде квадрата: $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2$ и $b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{4}})^2$. Исходное выражение можно переписать как $(a^{\frac{1}{4}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2$. Применив формулу, где $A=a^{\frac{1}{4}}$ и $B=b^{\frac{1}{4}}$, получим итоговый результат.
Ответ: $(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})$.

в) Разложим на множители выражение $x^3 - \sqrt{y}$. Сначала запишем корень в виде степени: $x^3 - y^{\frac{1}{2}}$. Теперь, как и в предыдущих примерах, представим выражение в виде разности квадратов. Для этого запишем каждый член как квадрат: $x^3 = (x^{\frac{3}{2}})^2$ и $y^{\frac{1}{2}} = (y^{\frac{1}{4}})^2$. Таким образом, получаем: $(x^{\frac{3}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{4}})^2$. Применяя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A=x^{\frac{3}{2}}$ и $B=y^{\frac{1}{4}}$, находим решение.
Ответ: $(x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{4}})(x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{1}{4}})$.

г) Разложим на множители выражение $\sqrt{x} - \sqrt{y}$. Сначала перепишем его с использованием степеней: $x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$. Это выражение полностью аналогично примеру из пункта б). Представим каждый член в виде квадрата: $x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{4}})^2$ и $y^{\frac{1}{2}} = (y^{\frac{1}{4}})^2$. Выражение принимает вид разности квадратов: $(x^{\frac{1}{4}})^2 - (y^{\frac{1}{4}})^2$. Используя формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A=x^{\frac{1}{4}}$ и $B=y^{\frac{1}{4}}$, получаем разложение.
Ответ: $(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}})$.