Номер 401, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

401. a) $ \frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} $;

б) $ \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} $;

в) $ \frac{x^{\frac{1}{2}} - y}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}} $;

г) $ \frac{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} $.

а)

Исходное выражение: $ \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} $.

Числитель $a-b$ можно представить как разность квадратов, если заметить, что $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $b = (b^{\frac{1}{2}})^2$.

Таким образом, $ a-b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 $.

Применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получаем:

$ (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} $.

Сокращаем общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ne b$):

$ a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} $.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$.

б)

Исходное выражение: $ \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} $.

Числитель $x-y$ можно представить как разность квадратов, так как $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$.

Используем формулу разности квадратов $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$:

$ x-y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) $.

Подставим разложенный числитель в исходную дробь:

$ \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} $.

Сократим общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ (при условии, что $x, y \ge 0$ и они не равны нулю одновременно):

$ \sqrt{x} - \sqrt{y} $.

Ответ: $\sqrt{x} - \sqrt{y}$.

в)

Исходное выражение: $ \frac{x^{\frac{1}{2}} - y}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}} $.

Для удобства преобразуем все члены в вид степеней с дробными показателями: $\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$ и $\sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}}$.

Выражение принимает вид: $ \frac{x^{\frac{1}{2}} - y}{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{2}}} $.

Заметим, что числитель можно представить как разность квадратов, так как $x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{4}})^2$ и $y = (y^{\frac{1}{2}})^2$.

Применим формулу разности квадратов $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$ к числителю:

$ x^{\frac{1}{2}} - y = (x^{\frac{1}{4}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) $.

Подставим разложенный числитель в дробь:

$ \frac{(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{2}}} $.

Сокращаем общий множитель $(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{2}})$ (при условии, что $x^{\frac{1}{4}} \ne y^{\frac{1}{2}}$):

$ x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}} $.

Запишем ответ, используя корни:

$ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} $.

Ответ: $\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}$.

г)

Исходное выражение: $ \frac{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} $.

Представим все корни в виде степеней с дробными показателями: $\sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{6}}$, $\sqrt[6]{b} = b^{\frac{1}{6}}$, $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$, $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$.

Выражение принимает вид: $ \frac{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $.

Чтобы найти общий множитель, представим знаменатель через степени с показателем $\frac{1}{6}$. Заметим, что $a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{6}} = (a^{\frac{1}{6}})^2$ и $b^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{2}{6}} = (b^{\frac{1}{6}})^2$.

Теперь знаменатель можно представить как разность квадратов:

$ a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (b^{\frac{1}{6}})^2 = (a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}) $.

Подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}{(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})} $.

Сокращаем общий множитель $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})$ (при условии, что он не равен нулю):

$ \frac{1}{a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}} $.

Запишем ответ, используя корни:

$ \frac{1}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} $.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}$.