Номер 403, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

403. a) $(a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}})^{-2} + (a^{-\frac{1}{2}} - b^{-\frac{1}{2}})^{-2};$

б) $(x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{6}}(y^{-\frac{5}{6}} - x^{-\frac{1}{3}}y^{-\frac{1}{2}}))^{-\frac{3}{2}};$

в) $\left(\frac{a+1}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1} - \frac{a-1}{a - a^{\frac{1}{2}}}\right)^2 \cdot$

а)

Дано выражение: $ \left(a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}}\right)^{-2} + \left(a^{-\frac{1}{2}} - b^{-\frac{1}{2}}\right)^{-2} $.

Для удобства введем замену: пусть $x = a^{-\frac{1}{2}}$ и $y = b^{-\frac{1}{2}}$. Тогда выражение принимает вид:

$ (x+y)^{-2} + (x-y)^{-2} $

Используя свойство степени $z^{-n} = \frac{1}{z^n}$, перепишем выражение:

$ \frac{1}{(x+y)^2} + \frac{1}{(x-y)^2} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+y)^2(x-y)^2 = ((x+y)(x-y))^2 = (x^2-y^2)^2$:

$ \frac{(x-y)^2 + (x+y)^2}{(x^2-y^2)^2} $

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$ \frac{(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2)}{(x^2-y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2}{(x^2-y^2)^2} = \frac{2(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2} $

Теперь выполним обратную замену. Вспомним, что $x = a^{-\frac{1}{2}}$ и $y = b^{-\frac{1}{2}}$. Тогда:

$ x^2 = (a^{-\frac{1}{2}})^2 = a^{-1} = \frac{1}{a} $

$ y^2 = (b^{-\frac{1}{2}})^2 = b^{-1} = \frac{1}{b} $

Подставим эти значения обратно в упрощенное выражение:

$ \frac{2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}{(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^2} $

Упростим числитель и знаменатель полученной дроби:

Числитель: $ 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 2 \cdot \frac{b+a}{ab} = \frac{2(a+b)}{ab} $.

Знаменатель: $ (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^2 = (\frac{b-a}{ab})^2 = \frac{(b-a)^2}{(ab)^2} = \frac{(a-b)^2}{a^2b^2} $.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{2(a+b)}{ab}}{\frac{(a-b)^2}{a^2b^2}} = \frac{2(a+b)}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(a-b)^2} = \frac{2ab(a+b)}{(a-b)^2} $

Область допустимых значений: $a > 0, b > 0, a \neq b$.

Ответ: $ \frac{2ab(a+b)}{(a-b)^2} $

б)

Дано выражение: $ \left( x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{6}}(y^{-\frac{5}{6}} - x^{-\frac{1}{3}}y^{-\frac{1}{2}}) \right)^{-\frac{3}{2}} $.

Сначала упростим выражение внутри больших скобок. Раскроем внутренние скобки, умножив $x^{-\frac{1}{6}}$ на каждый член в них:

$ x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{6}}y^{-\frac{5}{6}} - x^{-\frac{1}{6}}x^{-\frac{1}{3}}y^{-\frac{1}{2}} $

Упростим произведение степеней в третьем слагаемом, используя правило $a^m a^n = a^{m+n}$:

$ x^{-\frac{1}{6}}x^{-\frac{1}{3}} = x^{-\frac{1}{6} - \frac{1}{3}} = x^{-\frac{1}{6} - \frac{2}{6}} = x^{-\frac{3}{6}} = x^{-\frac{1}{2}} $

Подставим это обратно в выражение:

$ x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{6}}y^{-\frac{5}{6}} - x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} $

Первое и третье слагаемые являются противоположными и взаимно уничтожаются:

$ (x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}}) + x^{-\frac{1}{6}}y^{-\frac{5}{6}} = x^{-\frac{1}{6}}y^{-\frac{5}{6}} $

Теперь исходное выражение сводится к возведению полученного одночлена в степень $-\frac{3}{2}$:

$ \left( x^{-\frac{1}{6}}y^{-\frac{5}{6}} \right)^{-\frac{3}{2}} $

Применим свойство степени $(a^m b^k)^n = a^{mn}b^{kn}$:

$ x^{(-\frac{1}{6}) \cdot (-\frac{3}{2})} \cdot y^{(-\frac{5}{6}) \cdot (-\frac{3}{2})} $

Вычислим новые показатели степеней:

Для $x$: $ (-\frac{1}{6}) \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $.

Для $y$: $ (-\frac{5}{6}) \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} $.

Таким образом, получаем окончательный результат:

$ x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{5}{4}} $

Область допустимых значений: $x > 0, y > 0$.

Ответ: $ x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{5}{4}} $

в)

Дано выражение: $ \left( \frac{a+1}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1} - \frac{a-1}{a - a^{\frac{1}{2}}} \right)^2 $.

Упростим каждую дробь в скобках по отдельности.

1. Упростим первую дробь $ \frac{a+1}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1} $.

Числитель $a+1$ можно представить как сумму кубов: $a+1 = (a^{\frac{1}{3}})^3 + 1^3$.

Применим формулу суммы кубов $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$:

$ a+1 = (a^{\frac{1}{3}}+1)( (a^{\frac{1}{3}})^2 - a^{\frac{1}{3}}\cdot1 + 1^2 ) = (a^{\frac{1}{3}}+1)(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1) $

Подставим это в дробь и сократим:

$ \frac{(a^{\frac{1}{3}}+1)(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1)}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1} = a^{\frac{1}{3}}+1 $

2. Упростим вторую дробь $ \frac{a-1}{a - a^{\frac{1}{2}}} $.

Числитель $a-1$ можно разложить как разность квадратов: $a-1 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (a^{\frac{1}{2}}-1)(a^{\frac{1}{2}}+1)$.

Знаменатель $a - a^{\frac{1}{2}}$ можно разложить, вынеся общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$: $a - a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}-1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим (при условии $a \neq 1$):

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}}-1)(a^{\frac{1}{2}}+1)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}-1)} = \frac{a^{\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{1}{2}}} $

Разделим почленно: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = 1 + a^{-\frac{1}{2}} $.

3. Подставим упрощенные дроби обратно в исходное выражение:

$ \left( (a^{\frac{1}{3}}+1) - (1 + a^{-\frac{1}{2}}) \right)^2 = (a^{\frac{1}{3}}+1 - 1 - a^{-\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{2}})^2 $

4. Раскроем квадрат разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$ (a^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} + (a^{-\frac{1}{2}})^2 $

Упростим каждый член выражения:

$ a^{2 \cdot \frac{1}{3}} - 2a^{\frac{1}{3} + (-\frac{1}{2})} + a^{-2 \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{2-3}{6}} + a^{-1} = a^{\frac{2}{3}} - 2a^{-\frac{1}{6}} + a^{-1} $

Выражение также можно записать в виде: $ a^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{a^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{a} $.

Область допустимых значений: $a > 0, a \neq 1$.

Ответ: $ a^{\frac{2}{3}} - 2a^{-\frac{1}{6}} + a^{-1} $