Номер 409, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

409. Запишите формулу общего члена последовательности:

а) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...;

б) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...;

в) 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...;

г) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \dots$;

д) 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...;

е) -1, 1, -1, 1, -1, 1, ....

а) Данная последовательность представляет собой ряд натуральных чисел. Каждый член последовательности $a_n$ равен своему порядковому номеру $n$. Таким образом, формула общего члена имеет вид $a_n = n$.
Ответ: $a_n = n$.

б) Это последовательность нечетных натуральных чисел. Общий член такой последовательности можно найти по формуле $a_n = 2n - 1$. Проверим: при $n=1$ получаем $a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$; при $n=2$ получаем $a_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$; при $n=3$ получаем $a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$, что соответствует заданной последовательности.
Ответ: $a_n = 2n - 1$.

в) Каждый член данной последовательности является произведением числа 4 на его порядковый номер $n$. Первый член $a_1 = 4 \cdot 1 = 4$, второй член $a_2 = 4 \cdot 2 = 8$, и так далее. Следовательно, формула общего члена $a_n = 4n$.
Ответ: $a_n = 4n$.

г) Эта последовательность состоит из чисел, обратных натуральным. Первый член $a_1 = 1 = \frac{1}{1}$, второй член $a_2 = \frac{1}{2}$, третий $a_3 = \frac{1}{3}$, и так далее. Значит, n-ый член последовательности равен $a_n = \frac{1}{n}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{n}$.

д) Это знакочередующаяся последовательность, где члены на нечетных позициях равны 1, а на четных -1. Такую закономерность можно описать с помощью степени числа -1. Выражение $(-1)^{n-1}$ дает 1 при нечетном $n$ (например, $n=1, (-1)^{1-1}=1$) и -1 при четном $n$ (например, $n=2, (-1)^{2-1}=-1$).
Ответ: $a_n = (-1)^{n-1}$.

е) Это знакочередующаяся последовательность, которая начинается с -1. Члены на нечетных позициях равны -1, а на четных 1. Это соответствует поведению выражения $(-1)^n$. При $n=1$ имеем $(-1)^1 = -1$, при $n=2$ имеем $(-1)^2 = 1$, и так далее.
Ответ: $a_n = (-1)^n$.