Номер 402, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (402—403):

402. а) $ \left(\frac{a^{\frac{1}{2}}+2}{a+2a^{\frac{1}{2}}+1} - \frac{a^{\frac{1}{2}}-2}{a-1}\right) \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{1}{2}}}; $

б) $ \left(\frac{x^{\frac{1}{2}}+3y^{\frac{1}{2}}}{x-2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+y} + \frac{x^{\frac{1}{2}}-3y^{\frac{1}{2}}}{x-y}\right) \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}}{2}. $

а) Решим по действиям. Сначала выполним вычитание в скобках, а затем умножение.

1. Упростим знаменатели дробей в скобках. Для этого используем формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и разность квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.
Знаменатель первой дроби: $a + 2a^{\frac{1}{2}} + 1$. Если представить $a$ как $(a^{\frac{1}{2}})^2$, то получим формулу квадрата суммы:
$a + 2a^{\frac{1}{2}} + 1 = (a^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^2 = (a^{\frac{1}{2}} + 1)^2$.
Знаменатель второй дроби: $a - 1$. Представим $a$ как $(a^{\frac{1}{2}})^2$, получим формулу разности квадратов:
$a - 1 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)$.

2. Перепишем выражение в скобках с новыми знаменателями и приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2(a^{\frac{1}{2}} - 1)$.
$\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2} - \frac{a^{\frac{1}{2}} - 2}{(a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} + 2)(a^{\frac{1}{2}} - 1) - (a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 1)}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2(a^{\frac{1}{2}} - 1)}$

3. Раскроем скобки в числителе и упростим его:
$(a^{\frac{1}{2}} + 2)(a^{\frac{1}{2}} - 1) = a - a^{\frac{1}{2}} + 2a^{\frac{1}{2}} - 2 = a + a^{\frac{1}{2}} - 2$
$(a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 1) = a + a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{2}} - 2 = a - a^{\frac{1}{2}} - 2$
$(a + a^{\frac{1}{2}} - 2) - (a - a^{\frac{1}{2}} - 2) = a + a^{\frac{1}{2}} - 2 - a + a^{\frac{1}{2}} + 2 = 2a^{\frac{1}{2}}$
Результат действия в скобках: $\frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2(a^{\frac{1}{2}} - 1)}$.

4. Умножим полученный результат на вторую часть выражения:
$\frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2(a^{\frac{1}{2}} - 1)} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{2}}}$
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $a^{\frac{1}{2}}$ и $(a^{\frac{1}{2}} + 1)$.
$\frac{2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1)} = \frac{2}{a-1}$.
Ответ: $\frac{2}{a-1}$

б) Решим по действиям. Сначала выполним сложение в скобках, а затем умножение.

1. Упростим знаменатели дробей в скобках. Используем формулы квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ и разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.
Знаменатель первой дроби: $x - 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2$.
Знаменатель второй дроби: $x - y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.

2. Перепишем выражение в скобках с новыми знаменателями и приведем дроби к общему знаменателю $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.
$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 3y^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - 3y^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} = \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} - 3y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})}{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}$

3. Раскроем скобки в числителе и упростим его:
$(x^{\frac{1}{2}} + 3y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 3x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 3y = x + 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 3y$
$(x^{\frac{1}{2}} - 3y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) = x - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 3y = x - 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 3y$
$(x + 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 3y) + (x - 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 3y) = 2x + 6y = 2(x + 3y)$
Результат действия в скобках: $\frac{2(x + 3y)}{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}$.

4. Умножим полученный результат на вторую часть выражения:
$\frac{2(x + 3y)}{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}{2}$
Сократим общие множители 2 и $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$:
$\frac{x + 3y}{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} = \frac{x + 3y}{x - y}$.
Ответ: $\frac{x + 3y}{x - y}$