Номер 400, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Сократите дробь (400-401):

400. а) $\frac{a - \sqrt{a}}{2\sqrt{a} - 2}$;

б) $\frac{x^{\frac{1}{2}} + x}{3x^{\frac{1}{2}} + 3}$;

в) $\frac{(ab)^{\frac{1}{2}} - a}{\sqrt{a}}$;

г) $\frac{\sqrt{2x}}{(2xy)^{\frac{1}{2}} + 2x}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a - \sqrt{a}}{2\sqrt{a} - 2}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения: $a \ge 0$, чтобы корень был определен, и $2\sqrt{a} - 2 \neq 0$, чтобы знаменатель не был равен нулю, откуда $\sqrt{a} \neq 1$, то есть $a \neq 1$.
Преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{a}$:
$a - \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 - \sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)$.
Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель 2:
$2\sqrt{a} - 2 = 2(\sqrt{a} - 1)$.
Теперь наша дробь имеет вид:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)}{2(\sqrt{a} - 1)}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{a} - 1)$, так как из ОДЗ мы знаем, что он не равен нулю.
Получаем: $\frac{\sqrt{a}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{2}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{x^{\frac{1}{2}} + x}{3x^{\frac{1}{2}} + 3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
ОДЗ: $x \ge 0$. Знаменатель $3\sqrt{x} + 3$ всегда больше или равен 3, поэтому он никогда не равен нулю.
Преобразуем числитель, представив $x$ как $(x^{\frac{1}{2}})^2$ и вынеся за скобки общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$:
$x^{\frac{1}{2}} + x = x^{\frac{1}{2}} + (x^{\frac{1}{2}})^2 = x^{\frac{1}{2}}(1 + x^{\frac{1}{2}})$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 3:
$3x^{\frac{1}{2}} + 3 = 3(x^{\frac{1}{2}} + 1)$.
Теперь дробь выглядит так:
$\frac{x^{\frac{1}{2}}(1 + x^{\frac{1}{2}})}{3(1 + x^{\frac{1}{2}})}$.
Сокращаем общий множитель $(1 + x^{\frac{1}{2}})$.
Получаем: $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{3}$.
Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{3}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{(ab)^{\frac{1}{2}} - a}{\sqrt{a}}$, преобразуем числитель.
ОДЗ: $a > 0$, так как $a$ находится в знаменателе под корнем, и $ab \ge 0$. Поскольку $a > 0$, это означает, что $b \ge 0$.
Преобразуем числитель, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$ и вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{a}$:
$(ab)^{\frac{1}{2}} - a = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - a = \sqrt{a}\sqrt{b} - (\sqrt{a})^2 = \sqrt{a}(\sqrt{b} - \sqrt{a})$.
Подставим преобразованный числитель в дробь:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{\sqrt{a}}$.
Сокращаем общий множитель $\sqrt{a}$ (он не равен нулю, так как $a>0$).
Получаем: $\sqrt{b} - \sqrt{a}$.
Ответ: $\sqrt{b} - \sqrt{a}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{2x}}{(2xy)^{\frac{1}{2}} + 2x}$, разложим знаменатель на множители.
ОДЗ: $2x > 0$ (чтобы корень в числителе был определен и знаменатель не был равен нулю) и $2xy \ge 0$. Из $x>0$ следует, что $y \ge 0$.
Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{2x}$:
$(2xy)^{\frac{1}{2}} + 2x = \sqrt{2xy} + 2x = \sqrt{2x}\sqrt{y} + (\sqrt{2x})^2 = \sqrt{2x}(\sqrt{y} + \sqrt{2x})$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{2x}(\sqrt{y} + \sqrt{2x})}$.
Сокращаем общий множитель $\sqrt{2x}$.
Получаем: $\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{2x}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{2x}}$.