Номер 407, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

407. а) Что называют числовой последовательностью? членами числовой последовательности? Приведите примеры числовых последовательностей.

б) Что значит задать числовую последовательность?

в) Какие способы задания числовых последовательностей вы знаете?

а) Числовой последовательностью называют функцию, которая определена на множестве натуральных чисел. Говоря проще, это упорядоченный ряд чисел, в котором каждому натуральному числу $n$ (номеру) соответствует некоторое число $a_n$.

Числа, образующие последовательность, называют её членами. Член последовательности, соответствующий номеру $n$, обозначается как $a_n$. Например, $a_1$ — это первый член, $a_2$ — второй, и так далее.

Примеры числовых последовательностей:
1. Последовательность положительных четных чисел: 2, 4, 6, 8, 10, ...
2. Последовательность квадратов натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, 25, ...
3. Последовательность чисел, обратных натуральным: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, ...$

Ответ: Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел (членов последовательности), где каждому члену соответствует его порядковый номер. Примеры: последовательность четных чисел (2, 4, 6,...), последовательность квадратов натуральных чисел (1, 4, 9,...).

б) Задать числовую последовательность — это значит указать правило или закон, по которому можно однозначно найти любой член последовательности, зная его порядковый номер $n$. Это правило должно быть применимо для любого натурального номера.

Ответ: Задать числовую последовательность означает указать способ, позволяющий для любого натурального номера $n$ найти соответствующий ему член последовательности $a_n$.

в) Существуют несколько способов задания числовых последовательностей. Наиболее распространенные из них:

1. Аналитический способ. Последовательность задается формулой её $n$-го члена, то есть формулой вида $a_n = f(n)$. Эта формула позволяет вычислить любой член последовательности прямой подстановкой его номера $n$.
Пример: последовательность нечетных чисел задается формулой $a_n = 2n - 1$. Для $n=1, a_1=1$; для $n=2, a_2=3$; и так далее.

2. Рекуррентный способ. Задается формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого, через один или несколько предыдущих членов. При этом обязательно задаются один или несколько начальных членов последовательности.
Пример: арифметическая прогрессия задается рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n + d$, где нужно задать первый член $a_1$ и разность $d$. Последовательность Фибоначчи задается так: $a_1 = 1, a_2 = 1$, и $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ для $n \geq 1$.

3. Словесный способ. Правило, по которому находятся члены последовательности, описывается словами.
Пример: «последовательность простых чисел в порядке возрастания» (2, 3, 5, 7, 11, ...) или «последовательность десятичных знаков в записи числа $\pi$» (1, 4, 1, 5, 9, ...).

Ответ: Основные способы задания числовых последовательностей: аналитический (с помощью формулы n-го члена), рекуррентный (через предыдущие члены) и словесный (с помощью описания правила).