Страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

414. Последовательность задана первыми членами: 1, 5, 9, ... Запишите формулу её общего члена.

Дана последовательность, первые члены которой: 1, 5, 9, ... . Обозначим члены последовательности как $a_n$, где $n$ — это номер члена в последовательности. Таким образом, мы имеем:

$a_1 = 1$
$a_2 = 5$
$a_3 = 9$

Чтобы найти формулу общего члена, необходимо определить закономерность. Проверим, является ли данная последовательность арифметической прогрессией. Для этого найдем разность между соседними членами:

$d = a_2 - a_1 = 5 - 1 = 4$

$d = a_3 - a_2 = 9 - 5 = 4$

Разность между последовательными членами постоянна и равна 4. Это означает, что последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 4$.

Формула для нахождения $n$-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в эту формулу известные нам значения $a_1 = 1$ и $d = 4$:

$a_n = 1 + (n-1) \cdot 4$

Теперь упростим полученное выражение, раскрыв скобки:

$a_n = 1 + 4n - 4$

$a_n = 4n - 3$

Сделаем проверку для первых трех членов:

При $n=1$: $a_1 = 4 \cdot 1 - 3 = 4 - 3 = 1$. (Верно)

При $n=2$: $a_2 = 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 3 = 5$. (Верно)

При $n=3$: $a_3 = 4 \cdot 3 - 3 = 12 - 3 = 9$. (Верно)

Таким образом, формула общего члена последовательности найдена верно.

Ответ: $a_n = 4n - 3$.

415. Последовательность задана рекуррентным способом:

а) $a_1 = 2, a_{n+1} = a_n + 3;$

б) $b_1 = -2, b_{n+1} = 5 \cdot b_n;$

в) $c_1 = 4, c_{n+1} = c_n - 8;$

г) $x_1 = 8, x_{n+1} = 0,25 \cdot x_n.$

Запишите пять первых её членов.

Чтобы найти первые пять членов каждой последовательности, заданной рекуррентным способом, мы используем данный первый член и формулу для нахождения каждого следующего члена через предыдущий.

а)

Последовательность задана первым членом $a_1 = 2$ и рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n + 3$. Это означает, что каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением числа 3. Такая последовательность является арифметической прогрессией.

Вычислим первые пять членов:

$a_1 = 2$ (задан)

$a_2 = a_1 + 3 = 2 + 3 = 5$

$a_3 = a_2 + 3 = 5 + 3 = 8$

$a_4 = a_3 + 3 = 8 + 3 = 11$

$a_5 = a_4 + 3 = 11 + 3 = 14$

Ответ: 2, 5, 8, 11, 14.

б)

Последовательность задана первым членом $b_1 = -2$ и рекуррентной формулой $b_{n+1} = 5 \cdot b_n$. Это означает, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на 5. Такая последовательность является геометрической прогрессией.

Вычислим первые пять членов:

$b_1 = -2$ (задан)

$b_2 = 5 \cdot b_1 = 5 \cdot (-2) = -10$

$b_3 = 5 \cdot b_2 = 5 \cdot (-10) = -50$

$b_4 = 5 \cdot b_3 = 5 \cdot (-50) = -250$

$b_5 = 5 \cdot b_4 = 5 \cdot (-250) = -1250$

Ответ: -2, -10, -50, -250, -1250.

в)

Последовательность задана первым членом $c_1 = 4$ и рекуррентной формулой $c_{n+1} = c_n - 8$. Это означает, что каждый следующий член получается вычитанием 8 из предыдущего. Это арифметическая прогрессия.

Вычислим первые пять членов:

$c_1 = 4$ (задан)

$c_2 = c_1 - 8 = 4 - 8 = -4$

$c_3 = c_2 - 8 = -4 - 8 = -12$

$c_4 = c_3 - 8 = -12 - 8 = -20$

$c_5 = c_4 - 8 = -20 - 8 = -28$

Ответ: 4, -4, -12, -20, -28.

г)

Последовательность задана первым членом $x_1 = 8$ и рекуррентной формулой $x_{n+1} = 0,25 \cdot x_n$. Это означает, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на 0,25 (или 1/4). Это геометрическая прогрессия.

Вычислим первые пять членов:

$x_1 = 8$ (задан)

$x_2 = 0,25 \cdot x_1 = 0,25 \cdot 8 = 2$

$x_3 = 0,25 \cdot x_2 = 0,25 \cdot 2 = 0,5$

$x_4 = 0,25 \cdot x_3 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125$

$x_5 = 0,25 \cdot x_4 = 0,25 \cdot 0,125 = 0,03125$

Ответ: 8; 2; 0,5; 0,125; 0,03125.

416. Последовательность задана рекуррентным способом:

а) $a_1 = 3, a_{n+1} = a_n + 2;$

б) $b_1 = -5, b_{n+1} = 2 \cdot b_n;$

в) $c_1 = 8, c_{n+1} = c_n - 4;$

г) $x_1 = 9, x_{n+1} = 0,3 \cdot x_n.$

Задайте последовательность формулой n-го члена, вычислите пять первых её членов.

а) Дана последовательность $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 2$.

Эта последовательность является арифметической прогрессией, так как каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа. Первый член прогрессии $a_1 = 3$, а разность прогрессии $d = 2$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим наши значения:

$a_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$.

Таким образом, формула $n$-го члена последовательности: $a_n = 2n + 1$.

Вычислим первые пять членов последовательности:

$a_1 = 3$

$a_2 = a_1 + 2 = 3 + 2 = 5$

$a_3 = a_2 + 2 = 5 + 2 = 7$

$a_4 = a_3 + 2 = 7 + 2 = 9$

$a_5 = a_4 + 2 = 9 + 2 = 11$

Ответ: формула $n$-го члена $a_n = 2n + 1$; первые пять членов: 3, 5, 7, 9, 11.

б) Дана последовательность $b_1 = -5$, $b_{n+1} = 2 \cdot b_n$.

Эта последовательность является геометрической прогрессией, так как каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число. Первый член прогрессии $b_1 = -5$, а знаменатель прогрессии $q = 2$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим наши значения:

$b_n = -5 \cdot 2^{n-1}$.

Таким образом, формула $n$-го члена последовательности: $b_n = -5 \cdot 2^{n-1}$.

Вычислим первые пять членов последовательности:

$b_1 = -5$

$b_2 = b_1 \cdot 2 = -5 \cdot 2 = -10$

$b_3 = b_2 \cdot 2 = -10 \cdot 2 = -20$

$b_4 = b_3 \cdot 2 = -20 \cdot 2 = -40$

$b_5 = b_4 \cdot 2 = -40 \cdot 2 = -80$

Ответ: формула $n$-го члена $b_n = -5 \cdot 2^{n-1}$; первые пять членов: -5, -10, -20, -40, -80.

в) Дана последовательность $c_1 = 8$, $c_{n+1} = c_n - 4$.

Эта последовательность является арифметической прогрессией. Первый член прогрессии $c_1 = 8$, а разность прогрессии $d = -4$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $c_n = c_1 + (n-1)d$. Подставим наши значения:

$c_n = 8 + (n-1) \cdot (-4) = 8 - 4n + 4 = 12 - 4n$.

Таким образом, формула $n$-го члена последовательности: $c_n = 12 - 4n$.

Вычислим первые пять членов последовательности:

$c_1 = 8$

$c_2 = c_1 - 4 = 8 - 4 = 4$

$c_3 = c_2 - 4 = 4 - 4 = 0$

$c_4 = c_3 - 4 = 0 - 4 = -4$

$c_5 = c_4 - 4 = -4 - 4 = -8$

Ответ: формула $n$-го члена $c_n = 12 - 4n$; первые пять членов: 8, 4, 0, -4, -8.

г) Дана последовательность $x_1 = 9$, $x_{n+1} = 0,3 \cdot x_n$.

Эта последовательность является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии $x_1 = 9$, а знаменатель прогрессии $q = 0,3$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим наши значения:

$x_n = 9 \cdot (0,3)^{n-1}$.

Таким образом, формула $n$-го члена последовательности: $x_n = 9 \cdot (0,3)^{n-1}$.

Вычислим первые пять членов последовательности:

$x_1 = 9$

$x_2 = x_1 \cdot 0,3 = 9 \cdot 0,3 = 2,7$

$x_3 = x_2 \cdot 0,3 = 2,7 \cdot 0,3 = 0,81$

$x_4 = x_3 \cdot 0,3 = 0,81 \cdot 0,3 = 0,243$

$x_5 = x_4 \cdot 0,3 = 0,243 \cdot 0,3 = 0,0729$

Ответ: формула $n$-го члена $x_n = 9 \cdot (0,3)^{n-1}$; первые пять членов: 9; 2,7; 0,81; 0,243; 0,0729.

417. Последовательность задана первыми членами:

a) 5, 10, 15, 20, ...;

б) 32, 16, 8, 4, ...;

в) 2, -2, 2, -2, ....

Задайте последовательность рекуррентным способом, вычислите её восьмой член.

Рекуррентный способ задания последовательности означает, что каждый следующий член последовательности выражается через один или несколько предыдущих членов. Для задания последовательности таким способом необходимо указать первый член (или несколько первых членов) и формулу для нахождения любого члена, начиная с некоторого номера, через предыдущие.

а) Последовательность: 5, 10, 15, 20, ...

Обозначим члены последовательности через $a_n$. Первый член $a_1 = 5$.

Проанализируем связь между членами. Каждый следующий член получается путем прибавления числа 5 к предыдущему члену:

$a_2 = 10 = 5 + 5 = a_1 + 5$

$a_3 = 15 = 10 + 5 = a_2 + 5$

$a_4 = 20 = 15 + 5 = a_3 + 5$

Данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=5$.

Таким образом, рекуррентная формула имеет вид $a_{n+1} = a_n + 5$ при начальном условии $a_1 = 5$.

Вычислим восьмой член последовательности $a_8$, продолжая последовательность:

$a_5 = a_4 + 5 = 20 + 5 = 25$

$a_6 = a_5 + 5 = 25 + 5 = 30$

$a_7 = a_6 + 5 = 30 + 5 = 35$

$a_8 = a_7 + 5 = 35 + 5 = 40$

Ответ: Рекуррентная формула: $a_1 = 5, a_{n+1} = a_n + 5$. Восьмой член последовательности $a_8 = 40$.

б) Последовательность: 32, 16, 8, 4, ...

Обозначим члены последовательности через $b_n$. Первый член $b_1 = 32$.

Проанализируем связь между членами. Каждый следующий член получается путем деления предыдущего члена на 2 (или умножения на 1/2):

$b_2 = 16 = 32 / 2 = b_1 / 2$

$b_3 = 8 = 16 / 2 = b_2 / 2$

$b_4 = 4 = 8 / 2 = b_3 / 2$

Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 1/2$.

Таким образом, рекуррентная формула имеет вид $b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$ при начальном условии $b_1 = 32$.

Вычислим восьмой член последовательности $b_8$:

$b_5 = b_4 / 2 = 4 / 2 = 2$

$b_6 = b_5 / 2 = 2 / 2 = 1$

$b_7 = b_6 / 2 = 1 / 2$

$b_8 = b_7 / 2 = \frac{1}{2} / 2 = \frac{1}{4}$

Ответ: Рекуррентная формула: $b_1 = 32, b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$. Восьмой член последовательности $b_8 = \frac{1}{4}$.

в) Последовательность: 2, -2, 2, -2, ...

Обозначим члены последовательности через $c_n$. Первый член $c_1 = 2$.

Проанализируем связь между членами. Каждый следующий член получается путем умножения предыдущего члена на -1:

$c_2 = -2 = 2 \cdot (-1) = c_1 \cdot (-1)$

$c_3 = 2 = -2 \cdot (-1) = c_2 \cdot (-1)$

$c_4 = -2 = 2 \cdot (-1) = c_3 \cdot (-1)$

Данная последовательность является знакочередующейся геометрической прогрессией со знаменателем $q = -1$.

Таким образом, рекуррентная формула имеет вид $c_{n+1} = -c_n$ при начальном условии $c_1 = 2$.

Вычислим восьмой член последовательности $c_8$. Можно заметить, что все члены с нечетными номерами ($c_1, c_3, c_5, ...$) равны 2, а все члены с четными номерами ($c_2, c_4, c_6, ...$) равны -2. Поскольку 8 — четное число, $c_8 = -2$.

Проверим это, продолжая последовательность:

$c_5 = -c_4 = -(-2) = 2$

$c_6 = -c_5 = -(2) = -2$

$c_7 = -c_6 = -(-2) = 2$

$c_8 = -c_7 = -(2) = -2$

Ответ: Рекуррентная формула: $c_1 = 2, c_{n+1} = -c_n$. Восьмой член последовательности $c_8 = -2$.

418. В предыдущем задании задайте последовательность формулой $n$-го члена, вычислите её девятый член.

Последовательность двузначных чисел, взятых в порядке возрастания: 10, 11, 12, ... .

Эта последовательность представляет собой арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $a_1 = 10$, а разность $d = 1$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения для данной последовательности: $a_n = 10 + (n-1) \cdot 1 = 10 + n - 1 = n + 9$.

Таким образом, формула n-го члена последовательности: $a_n = n + 9$.

Чтобы вычислить девятый член последовательности, подставим $n=9$ в полученную формулу:

$a_9 = 9 + 9 = 18$.

Ответ: формула n-го члена $a_n = n + 9$; девятый член равен 18.

Последовательность кубов натуральных чисел: $1^3, 2^3, 3^3, \dots$, то есть 1, 8, 27, ... .

Каждый член этой последовательности с номером $n$ является кубом этого номера.

Следовательно, формула n-го члена последовательности: $b_n = n^3$.

Вычислим девятый член последовательности, подставив $n=9$ в формулу:

$b_9 = 9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$.

Ответ: формула n-го члена $b_n = n^3$; девятый член равен 729.

Последовательность натуральных чисел, которые делятся на 3 и на 5.

Число, которое делится одновременно на 3 и на 5, должно быть кратно их наименьшему общему кратному. $НОК(3, 5) = 15$.

Значит, это последовательность натуральных чисел, кратных 15: 15, 30, 45, 60, ... .

n-й член этой последовательности равен произведению 15 на номер члена $n$.

Таким образом, формула n-го члена последовательности: $c_n = 15n$.

Вычислим девятый член последовательности, подставив $n=9$ в формулу:

$c_9 = 15 \cdot 9 = 135$.

Ответ: формула n-го члена $c_n = 15n$; девятый член равен 135.

Последовательность натуральных чисел, дающих при делении на 4 остаток 3.

Выпишем первые несколько членов этой последовательности, чтобы найти закономерность: 3, 7, 11, 15, ... .

Это арифметическая прогрессия. Её первый член $d_1 = 3$, а разность $d = 7-3 = 4$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $d_n = d_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения: $d_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$.

Итак, формула n-го члена последовательности: $d_n = 4n - 1$.

Вычислим девятый член последовательности, подставив $n=9$ в формулу:

$d_9 = 4 \cdot 9 - 1 = 36 - 1 = 35$.

Ответ: формула n-го члена $d_n = 4n - 1$; девятый член равен 35.

419. Числовая последовательность задана формулой n-го члена:

а) $a_n = 5n;$

б) $b_n = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n;$

в) $c_n = (-0,5)^n.$

Задайте последовательность рекуррентным способом.

а)

Чтобы задать последовательность $a_n = 5n$ рекуррентным способом, необходимо найти ее первый член и выразить $n$-й член через предыдущий.

1. Найдем первый член последовательности, подставив $n=1$ в заданную формулу:
$a_1 = 5 \cdot 1 = 5$.

2. Выразим $n$-й член $a_n$ через предыдущий член $a_{n-1}$.
Формула для $(n-1)$-го члена: $a_{n-1} = 5(n-1) = 5n - 5$.
Из исходной формулы мы знаем, что $a_n = 5n$. Мы можем переписать это, используя выражение для $a_{n-1}$:
$a_n = 5n = (5n - 5) + 5 = a_{n-1} + 5$.
Таким образом, мы получили рекуррентную формулу, которая связывает текущий член с предыдущим: $a_n = a_{n-1} + 5$.

Рекуррентное задание последовательности состоит из первого члена и рекуррентной формулы.
Ответ: $a_1 = 5$, $a_n = a_{n-1} + 5$.

б)

Последовательность задана формулой $b_n = 27 \cdot (\frac{1}{3})^n$.

1. Найдем первый член последовательности при $n=1$:
$b_1 = 27 \cdot (\frac{1}{3})^1 = \frac{27}{3} = 9$.

2. Выразим $n$-й член $b_n$ через предыдущий член $b_{n-1}$.
Запишем $(n-1)$-й член:
$b_{n-1} = 27 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$.
Преобразуем формулу для $n$-го члена:
$b_n = 27 \cdot (\frac{1}{3})^n = \left(27 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}\right) \cdot \frac{1}{3}$.
Так как $27 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$ это $b_{n-1}$, мы можем подставить это в выражение для $b_n$:
$b_n = b_{n-1} \cdot \frac{1}{3}$.

Ответ: $b_1 = 9$, $b_n = \frac{1}{3} b_{n-1}$.

в)

Последовательность задана формулой $c_n = (-0,5)^n$.

1. Найдем первый член последовательности при $n=1$:
$c_1 = (-0,5)^1 = -0,5$.

2. Выразим $n$-й член $c_n$ через предыдущий член $c_{n-1}$.
Запишем $(n-1)$-й член:
$c_{n-1} = (-0,5)^{n-1}$.
Преобразуем формулу для $n$-го члена:
$c_n = (-0,5)^n = (-0,5)^{n-1} \cdot (-0,5)$.
Подставляя выражение для $c_{n-1}$, получаем рекуррентную формулу:
$c_n = c_{n-1} \cdot (-0,5) = -0,5 c_{n-1}$.

Ответ: $c_1 = -0,5$, $c_n = -0,5 c_{n-1}$.

420. Последовательность задана формулой n-го члена:

а) $a_n = 177 - 3n$;

б) $b_n = 125 - 7n$;

в) $x_n = 23 - 1,5n$;

г) $y_n = 100 - \frac{n}{3}$.

Сколько положительных членов у этой последовательности?

Чтобы найти количество положительных членов для каждой последовательности, нужно решить неравенство, в котором n-й член больше нуля ($a_n > 0$, $b_n > 0$ и т.д.), учитывая, что $n$ — натуральное число ($n \ge 1$).

а) Для последовательности $a_n = 177 - 3n$ найдем все натуральные $n$, для которых $a_n > 0$.

Решим неравенство:

$177 - 3n > 0$

Перенесем $3n$ в правую часть:

$177 > 3n$

Разделим обе части на 3:

$59 > n$ или $n < 59$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, оно может принимать значения от 1 до 58 включительно. Таким образом, в последовательности 58 положительных членов.

Ответ: 58

б) Для последовательности $b_n = 125 - 7n$ найдем все натуральные $n$, для которых $b_n > 0$.

Решим неравенство:

$125 - 7n > 0$

$125 > 7n$

$n < \frac{125}{7}$

$n < 17 \frac{6}{7}$

Наибольшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это 17. Следовательно, $n$ может принимать значения от 1 до 17. В последовательности 17 положительных членов.

Ответ: 17

в) Для последовательности $x_n = 23 - 1,5n$ найдем все натуральные $n$, для которых $x_n > 0$.

Решим неравенство:

$23 - 1,5n > 0$

$23 > 1,5n$

$n < \frac{23}{1,5}$

$n < \frac{46}{3}$

$n < 15 \frac{1}{3}$

Наибольшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это 15. Следовательно, $n$ может принимать значения от 1 до 15. В последовательности 15 положительных членов.

Ответ: 15

г) Для последовательности $y_n = 100 - \frac{n}{3}$ найдем все натуральные $n$, для которых $y_n > 0$.

Решим неравенство:

$100 - \frac{n}{3} > 0$

$100 > \frac{n}{3}$

Умножим обе части на 3:

$300 > n$ или $n < 300$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, оно может принимать значения от 1 до 299 включительно. Таким образом, в последовательности 299 положительных членов.

Ответ: 299

421. Последовательность задана формулой $n$-го члена:

а) $a_n = -117 + 3n$;

б) $b_n = -222 + 1,5n$;

в) $x_n = -237 + 5n$;

г) $y_n = -100 + \frac{n}{7}$.

Сколько отрицательных членов у этой последовательности?

Чтобы найти количество отрицательных членов в каждой последовательности, необходимо решить неравенство, в котором n-й член последовательности меньше нуля. Так как $n$ — это номер члена последовательности, то $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

а) Для последовательности $a_n = -117 + 3n$ найдем все натуральные $n$, для которых $a_n < 0$.

Составим и решим неравенство:

$-117 + 3n < 0$

$3n < 117$

$n < \frac{117}{3}$

$n < 39$

Так как $n$ — натуральное число, то оно может принимать значения от 1 до 38 включительно. Следовательно, в последовательности 38 отрицательных членов.

Ответ: 38

б) Для последовательности $b_n = -222 + 1,5n$ найдем все натуральные $n$, для которых $b_n < 0$.

Составим и решим неравенство:

$-222 + 1,5n < 0$

$1,5n < 222$

$n < \frac{222}{1,5}$

$n < 148$

Так как $n$ — натуральное число, то оно может принимать значения от 1 до 147 включительно. Следовательно, в последовательности 147 отрицательных членов.

Ответ: 147

в) Для последовательности $x_n = -237 + 5n$ найдем все натуральные $n$, для которых $x_n < 0$.

Составим и решим неравенство:

$-237 + 5n < 0$

$5n < 237$

$n < \frac{237}{5}$

$n < 47,4$

Так как $n$ — натуральное число, то оно может принимать значения от 1 до 47 включительно. Следовательно, в последовательности 47 отрицательных членов.

Ответ: 47

г) Для последовательности $y_n = -100 + \frac{n}{7}$ найдем все натуральные $n$, для которых $y_n < 0$.

Составим и решим неравенство:

$-100 + \frac{n}{7} < 0$

$\frac{n}{7} < 100$

$n < 700$

Так как $n$ — натуральное число, то оно может принимать значения от 1 до 699 включительно. Следовательно, в последовательности 699 отрицательных членов.

Ответ: 699

422. Сколько отрицательных членов имеет последовательность, заданная формулой общего члена:

а) $a_n = n^2 - 12n + 27;$

б) $a_n = n^2 - 20n + 75?$

а) Чтобы найти количество отрицательных членов последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 - 12n + 27$, необходимо решить неравенство $a_n < 0$, где $n$ — натуральное число.

Составим и решим неравенство:

$n^2 - 12n + 27 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - 12n + 27 = 0$.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36$

$n_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 6}{2} = 3$

$n_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 6}{2} = 9$

Графиком функции $y = n^2 - 12n + 27$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен ($1 > 0$). Следовательно, значения функции будут отрицательными между корнями.

Таким образом, решение неравенства $n^2 - 12n + 27 < 0$ есть интервал $(3; 9)$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Найдем все натуральные числа, которые принадлежат интервалу $(3; 9)$:

Это числа 4, 5, 6, 7, 8.

Всего таких чисел 5. Значит, последовательность имеет 5 отрицательных членов.

Ответ: 5.

б) Чтобы найти количество отрицательных членов последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 - 20n + 75$, необходимо решить неравенство $a_n < 0$, где $n$ — натуральное число.

Составим и решим неравенство:

$n^2 - 20n + 75 < 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 20n + 75 = 0$.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 75 = 400 - 300 = 100$

$n_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 10}{2} = 5$

$n_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 10}{2} = 15$

Графиком функции $y = n^2 - 20n + 75$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут отрицательными на интервале между корнями.

Решением неравенства $n^2 - 20n + 75 < 0$ является интервал $(5; 15)$.

Найдем все натуральные числа $n$, которые принадлежат этому интервалу:

Это числа 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Количество таких чисел равно $14 - 6 + 1 = 9$. Значит, последовательность имеет 9 отрицательных членов.

Ответ: 9.

423. Найдите наименьший член последовательности, заданной формулой общего члена:

а) $a_n = n^2 - 19.8n + 113;$

б) $a_n = n^2 - 22.2n + 126.$

а) $a_n = n^2 - 19,8n + 113$

Формула общего члена последовательности $a_n$ является квадратичной функцией от $n$. Графиком функции $y(n) = n^2 - 19,8n + 113$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен ($1 > 0$).

Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине. Найдем абсциссу вершины параболы $n_0$ по формуле $n_0 = -\frac{b}{2a}$.

В данном случае коэффициенты равны $a = 1$ и $b = -19,8$.

$n_0 = -\frac{-19,8}{2 \cdot 1} = \frac{19,8}{2} = 9,9$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), наименьший член последовательности будет соответствовать одному из двух натуральных чисел, ближайших к $n_0 = 9,9$. Это числа $n=9$ и $n=10$.

Найдем значения членов последовательности для этих номеров:

При $n=9$:

$a_9 = 9^2 - 19,8 \cdot 9 + 113 = 81 - 178,2 + 113 = 194 - 178,2 = 15,8$.

При $n=10$:

$a_{10} = 10^2 - 19,8 \cdot 10 + 113 = 100 - 198 + 113 = 213 - 198 = 15$.

Сравнивая полученные значения $a_9 = 15,8$ и $a_{10} = 15$, видим, что $15 < 15,8$. Следовательно, наименьший член последовательности равен 15.

Ответ: 15.

б) $a_n = n^2 - 22,2n + 126$

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим квадратичную функцию $y(n) = n^2 - 22,2n + 126$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Найдем абсциссу вершины параболы $n_0$:

$n_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-22,2}{2 \cdot 1} = \frac{22,2}{2} = 11,1$.

Номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом. Ближайшие натуральные числа к $n_0 = 11,1$ — это $n=11$ и $n=12$.

Вычислим значения членов последовательности для этих номеров:

При $n=11$:

$a_{11} = 11^2 - 22,2 \cdot 11 + 126 = 121 - 244,2 + 126 = 247 - 244,2 = 2,8$.

При $n=12$:

$a_{12} = 12^2 - 22,2 \cdot 12 + 126 = 144 - 266,4 + 126 = 270 - 266,4 = 3,6$.

Сравнивая полученные значения $a_{11} = 2,8$ и $a_{12} = 3,6$, получаем $2,8 < 3,6$. Таким образом, наименьший член последовательности равен 2,8.

Ответ: 2,8.

424. Исследуем. Найдите все значения $a$, при каждом из которых последовательность, заданная формулой общего члена

$y_n = n^2 - 20n + 100 - a$, имеет:

a) единственный отрицательный член;

б) ровно пять отрицательных членов;

в) ровно двадцать отрицательных членов.

Дана последовательность, заданная формулой общего члена $y_n = n^2 - 20n + 100 - a$. Заметим, что выражение $n^2 - 20n + 100$ является полным квадратом: $n^2 - 2 \cdot n \cdot 10 + 10^2 = (n - 10)^2$. Таким образом, формулу общего члена можно переписать в виде: $y_n = (n - 10)^2 - a$.

Член последовательности $y_n$ является отрицательным, если выполняется неравенство $y_n < 0$: $(n - 10)^2 - a < 0$ $(n - 10)^2 < a$

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$, то есть $n \ge 1$). Нам нужно найти значения параметра $a$, при которых указанное неравенство имеет определенное количество решений для $n \in \mathbb{N}$.

Рассмотрим значения выражения $(n - 10)^2$ для натуральных $n$. Это выражение неотрицательно, поэтому для существования отрицательных членов необходимо, чтобы $a > 0$. Минимальное значение выражения достигается при $n=10$ и равно $(10-10)^2 = 0$. Значения $(n-10)^2$ симметричны относительно $n=10$. Давайте выпишем эти значения в порядке возрастания и укажем, при каких $n$ они достигаются:

• $(10-10)^2 = 0$ (для $n=10$) — 1 член.
• $(9-10)^2 = 1$ и $(11-10)^2 = 1$ (для $n=9, 11$) — 2 члена.
• $(8-10)^2 = 4$ и $(12-10)^2 = 4$ (для $n=8, 12$) — 2 члена.
• $(7-10)^2 = 9$ и $(13-10)^2 = 9$ (для $n=7, 13$) — 2 члена.
• ...
• $(1-10)^2 = 81$ и $(19-10)^2 = 81$ (для $n=1, 19$) — 2 члена.
• $(20-10)^2 = 100$. Соответствующее значение $n=10-10=0$ не является натуральным, поэтому только $n=20$ — 1 член.
• $(21-10)^2 = 121$. Только $n=21$ — 1 член.

Теперь решим каждую подзадачу.

а) единственный отрицательный член;

Чтобы последовательность имела ровно один отрицательный член, неравенство $(n - 10)^2 < a$ должно иметь ровно одно решение в натуральных числах. Наименьшее значение выражения $(n - 10)^2$ равно 0 и достигается при $n=10$. Чтобы только этот член был отрицательным, значение $a$ должно быть больше 0, но не больше следующего по величине значения $(n-10)^2$, которое равно 1. Следовательно, должно выполняться условие $0 < a \le 1$. При таких значениях $a$ неравенство $(n - 10)^2 < a$ имеет единственное решение среди целых неотрицательных квадратов: $(n - 10)^2 = 0$, откуда $n=10$.

Ответ: $0 < a \le 1$.

б) ровно пять отрицательных членов;

Чтобы последовательность имела ровно пять отрицательных членов, неравенство $(n - 10)^2 < a$ должно иметь ровно пять решений в натуральных числах. Посчитаем количество членов, дающих наименьшие значения $(n-10)^2$:

• $(n-10)^2 = 0$ (при $n=10$): 1 член.
• $(n-10)^2 = 1$ (при $n=9, 11$): 2 члена. Итого 1+2=3 члена.
• $(n-10)^2 = 4$ (при $n=8, 12$): 2 члена. Итого 3+2=5 членов.

Таким образом, нам нужно, чтобы значения $(n - 10)^2$, равные 0, 1, и 4, были меньше $a$. Это означает, что $a$ должно быть больше 4. Следующее по величине значение $(n-10)^2$ равно 9 (при $n=7, 13$). Чтобы эти члены не были отрицательными, должно выполняться условие $(n-10)^2 \ge a$ для этих $n$. Следовательно, $a$ должно быть не больше 9. Объединяя условия, получаем $4 < a \le 9$.

Ответ: $4 < a \le 9$.

в) ровно двадцать отрицательных членов.

Чтобы последовательность имела ровно двадцать отрицательных членов, неравенство $(n - 10)^2 < a$ должно иметь ровно двадцать решений в натуральных числах. Продолжим подсчет количества отрицательных членов:

• При $n=10$ имеем $(10-10)^2=0$ (1 член).
• При $n = 10 \pm k$ для $k=1, 2, ..., 9$, мы получаем $2 \times 9 = 18$ членов. Все значения $n=10-k$ и $n=10+k$ являются натуральными (от 1 до 19, исключая 10). Значения $(n-10)^2$ равны $1, 4, ..., 81$.

Суммарно это дает $1+18=19$ членов. Для этого $a$ должно быть больше 81. Чтобы получить 20-й отрицательный член, мы должны включить следующее наименьшее значение $(n-10)^2$. Следующее значение $|n-10|$ равно 10. При $|n-10|=10$, имеем $n=10-10=0$ и $n=10+10=20$. Так как $n$ должно быть натуральным числом, подходит только $n=20$. Это дает еще один, 20-й член. Значение $(n-10)^2$ для него равно $(20-10)^2 = 100$. Таким образом, нам нужно, чтобы значения $(n - 10)^2$, равные $0, 1, 4, ..., 81, 100$, были меньше $a$. Это означает, что $a$ должно быть строго больше 100. Следующее по величине значение $(n-10)^2$ соответствует $|n-10|=11$, то есть $n=21$ (так как $n=-1$ не подходит). Оно равно $(21-10)^2 = 121$. Чтобы этот 21-й член не был отрицательным, $a$ должно быть не больше 121. Объединяя условия, получаем $100 < a \le 121$.

Ответ: $100 < a \le 121$.