Страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

443. Является ли арифметической прогрессией последовательность:

a) $-5, -2, 1, 1, 4, 7, 10, \ldots;$

б) $7, 0, -7, -14, -21, \ldots;$

в) $1 \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{3}, 1 \frac{1}{4}, 1 \frac{1}{5}, 1 \frac{1}{6}, \ldots;$

г) $-1, 4, 9, 14, 19, 24, \ldots?`$

Чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, нужно проверить, является ли разность между любыми двумя её последовательными членами постоянной. Эта постоянная разность называется разностью арифметической прогрессии ($d$).

а)

Рассмотрим последовательность: $-5, -2, 1, 1, 4, 7, 10, ...$

Найдем разность между соседними членами:

Разность между вторым и первым: $-2 - (-5) = -2 + 5 = 3$.

Разность между третьим и вторым: $1 - (-2) = 1 + 2 = 3$.

Разность между четвертым и третьим: $1 - 1 = 0$.

Так как разности не одинаковы ($3 \neq 0$), последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является.

б)

Рассмотрим последовательность: $7, 0, -7, -14, -21, ...$

Найдем разность между соседними членами:

$0 - 7 = -7$

$-7 - 0 = -7$

$-14 - (-7) = -14 + 7 = -7$

$-21 - (-14) = -21 + 14 = -7$

Разность между соседними членами постоянна и равна $-7$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является.

в)

Рассмотрим последовательность: $1\frac{1}{2}, 1\frac{1}{3}, 1\frac{1}{4}, 1\frac{1}{5}, 1\frac{1}{6}, ...$

Для удобства вычислений представим члены последовательности в виде неправильных дробей: $\frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, ...$

Найдем разность между соседними членами:

Разность между вторым и первым: $\frac{4}{3} - \frac{3}{2} = \frac{8-9}{6} = -\frac{1}{6}$.

Разность между третьим и вторым: $\frac{5}{4} - \frac{4}{3} = \frac{15-16}{12} = -\frac{1}{12}$.

Так как разности не равны ($-\frac{1}{6} \neq -\frac{1}{12}$), последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является.

г)

Рассмотрим последовательность: $-1, 4, 9, 14, 19, 24, ...$

Найдем разность между соседними членами:

$4 - (-1) = 4 + 1 = 5$

$9 - 4 = 5$

$14 - 9 = 5$

$19 - 14 = 5$

$24 - 19 = 5$

Разность между соседними членами постоянна и равна $5$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является.

444. Запишите первые четыре члена арифметической прогрессии, если $a_1 = 2$, $d = -3$.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом $d$. Это число $d$ называется разностью арифметической прогрессии.

Для нахождения любого члена прогрессии можно использовать формулу n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $n$ — номер члена.

В данной задаче нам известны:
Первый член прогрессии: $a_1 = 2$.
Разность прогрессии: $d = -3$.

Требуется найти первые четыре члена прогрессии: $a_1, a_2, a_3, a_4$.

1. Первый член нам уже дан по условию:
$a_1 = 2$.

2. Второй член находим, прибавив к первому разность $d$:
$a_2 = a_1 + d = 2 + (-3) = 2 - 3 = -1$.

3. Третий член находим, прибавив ко второму разность $d$:
$a_3 = a_2 + d = -1 + (-3) = -1 - 3 = -4$.

4. Четвертый член находим, прибавив к третьему разность $d$:
$a_4 = a_3 + d = -4 + (-3) = -4 - 3 = -7$.

Таким образом, мы получили последовательность из первых четырех членов: 2, -1, -4, -7.

Ответ: 2; -1; -4; -7.

445. Найдите пятый член арифметической прогрессии ${a_n}: 2, 4\frac{1}{3}, 6\frac{2}{3}, \dots$

Для того чтобы найти пятый член арифметической прогрессии $\{a_n\}$, нужно сначала определить её первый член $a_1$ и разность $d$.

Из условия задачи имеем первые члены прогрессии:
$a_1 = 2$
$a_2 = 4\frac{1}{3}$
$a_3 = 6\frac{2}{3}$

Разность арифметической прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Найдем её, вычислив разность между вторым и первым членами:
$d = a_2 - a_1 = 4\frac{1}{3} - 2 = 2\frac{1}{3}$

Для удобства дальнейших вычислений представим разность в виде неправильной дроби:
$d = 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$

Нам нужно найти пятый член прогрессии, то есть $a_5$. Подставим в формулу $n=5$, $a_1 = 2$ и $d = \frac{7}{3}$:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$
$a_5 = 2 + 4 \cdot \frac{7}{3} = 2 + \frac{28}{3}$

Теперь выполним сложение. Представим 2 как дробь со знаменателем 3:
$2 = \frac{6}{3}$
$a_5 = \frac{6}{3} + \frac{28}{3} = \frac{6 + 28}{3} = \frac{34}{3}$

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:
$a_5 = \frac{34}{3} = 11\frac{1}{3}$

Ответ: $11\frac{1}{3}$

446. В арифметической прогрессии ${$a_n$}$ найдите:

а) ${$a_2$}$ и ${$d$}$, если ${$a_3 = 5$}$, ${$a_4 = 9$}$;

б) ${$a_1$}$ и ${$d$}$, если ${$a_2 = 7$}$, ${$a_3 = 4$}$;

в) ${$a_5$}$ и ${$d$}$, если ${$a_6 = 8$}$, ${$a_4 = 12$}$;

г) ${$a_7$}$ и ${$d$}$, если ${$a_6 = -15$}$, ${$a_8 = -11$}$.

а) В арифметической прогрессии разность $d$ (шаг прогрессии) постоянна и равна разности между последующим и предыдущим членами: $d = a_{n} - a_{n-1}$.
Используя данные значения $a_3 = 5$ и $a_4 = 9$, найдем разность $d$:
$d = a_4 - a_3 = 9 - 5 = 4$.
Теперь найдем второй член прогрессии $a_2$. Мы знаем, что $a_3 = a_2 + d$. Отсюда:
$a_2 = a_3 - d = 5 - 4 = 1$.
Ответ: $a_2 = 1, d = 4$.

б) Найдем разность прогрессии $d$, используя известные члены $a_2 = 7$ и $a_3 = 4$:
$d = a_3 - a_2 = 4 - 7 = -3$.
Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_2 = a_1 + d$. Отсюда:
$a_1 = a_2 - d = 7 - (-3) = 7 + 3 = 10$.
Ответ: $a_1 = 10, d = -3$.

в) Для нахождения разности $d$ воспользуемся общей формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_m + (n-m)d$.
Подставим известные значения $a_6 = 8$ и $a_4 = 12$:
$a_6 = a_4 + (6-4)d$
$8 = 12 + 2d$
$2d = 8 - 12$
$2d = -4$
$d = -2$.
Член $a_5$ находится между $a_4$ и $a_6$ и является их средним арифметическим: $a_5 = \frac{a_4 + a_6}{2}$.
$a_5 = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
Также можно было найти $a_5$ через $a_4$ и $d$: $a_5 = a_4 + d = 12 + (-2) = 10$.
Ответ: $a_5 = 10, d = -2$.

г) Снова используем формулу $a_n = a_m + (n-m)d$ для известных членов $a_8 = -11$ и $a_6 = -15$:
$a_8 = a_6 + (8-6)d$
$-11 = -15 + 2d$
$2d = -11 - (-15)$
$2d = -11 + 15$
$2d = 4$
$d = 2$.
Член $a_7$ является средним арифметическим для $a_6$ и $a_8$: $a_7 = \frac{a_6 + a_8}{2}$.
$a_7 = \frac{-15 + (-11)}{2} = \frac{-26}{2} = -13$.
Также можно было найти $a_7$ через $a_6$ и $d$: $a_7 = a_6 + d = -15 + 2 = -13$.
Ответ: $a_7 = -13, d = 2$.

447. Доказываем.

Докажите, что в арифметической прогрессии ${a_n}$ разность $d$ можно вычислить по формуле

$d = \frac{a_m - a_k}{m - k}$, $m \neq k$.

Для доказательства воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии {$a_n$}:$a_n = a_1 + (n-1)d$,где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Запишем выражения для m-го и k-го членов прогрессии, где $m, k$ — номера членов, причём по условию $m \neq k$:
$a_m = a_1 + (m-1)d$
$a_k = a_1 + (k-1)d$

Теперь вычтем из выражения для $a_m$ выражение для $a_k$:
$a_m - a_k = (a_1 + (m-1)d) - (a_1 + (k-1)d)$

Раскроем скобки в правой части равенства и приведем подобные слагаемые:
$a_m - a_k = a_1 + md - d - a_1 - kd + d$
$a_m - a_k = (a_1 - a_1) + (md - kd) + (-d + d)$
$a_m - a_k = md - kd$

Вынесем общий множитель $d$ за скобки:
$a_m - a_k = d(m-k)$

Поскольку по условию задачи $m \neq k$, то разность $m-k$ не равна нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(m-k)$, чтобы выразить разность прогрессии $d$:
$d = \frac{a_m - a_k}{m-k}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Формула $d = \frac{a_m - a_k}{m-k}$ для вычисления разности арифметической прогрессии при $m \neq k$ доказана.

В арифметической прогрессии ${a_n}$ найдите (448–450):

448. а) ${a_2}$ и ${d}$, если ${a_1 = 5, a_3 = 13;}$

б) ${a_1}$ и ${d}$, если ${a_2 = 3, a_{10} = 19;}$

в) ${a_2}$ и ${d}$, если ${a_{12} = -2, a_3 = 7;}$

г) ${a_{101}}$, если ${a_{12} = 20,5, a_7 = 10,5.}$

а) Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Для $n=3$ имеем $a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$.
Подставим в формулу известные значения $a_1 = 5$ и $a_3 = 13$:
$13 = 5 + 2d$
$2d = 13 - 5$
$2d = 8$
$d = 4$
Теперь найдем второй член прогрессии $a_2$ по формуле $a_2 = a_1 + d$:
$a_2 = 5 + 4 = 9$.
Ответ: $a_2 = 9, d = 4$.

б) Для нахождения разности прогрессии $d$ используем формулу, связывающую два любых члена прогрессии: $a_n = a_m + (n-m)d$.
Подставим известные значения $a_2 = 3$ и $a_{10} = 19$:
$a_{10} = a_2 + (10-2)d$
$19 = 3 + 8d$
$8d = 19 - 3$
$8d = 16$
$d = 2$
Первый член прогрессии $a_1$ найдем из формулы $a_2 = a_1 + d$:
$3 = a_1 + 2$
$a_1 = 1$.
Ответ: $a_1 = 1, d = 2$.

в) Сначала найдем разность прогрессии $d$ по формуле $a_n = a_m + (n-m)d$.
Подставим известные значения $a_{12} = -2$ и $a_3 = 7$:
$a_{12} = a_3 + (12-3)d$
$-2 = 7 + 9d$
$9d = -2 - 7$
$9d = -9$
$d = -1$
Второй член прогрессии $a_2$ найдем из соотношения $a_3 = a_2 + d$:
$7 = a_2 + (-1)$
$a_2 = 7 + 1 = 8$.
Ответ: $a_2 = 8, d = -1$.

г) Сначала найдем разность прогрессии $d$ по формуле $a_n = a_m + (n-m)d$.
Подставим известные значения $a_{12} = 20,5$ и $a_7 = 10,5$:
$a_{12} = a_7 + (12-7)d$
$20,5 = 10,5 + 5d$
$5d = 20,5 - 10,5$
$5d = 10$
$d = 2$
Теперь найдем $a_{101}$, выразив его через известный член прогрессии, например $a_{12}$:
$a_{101} = a_{12} + (101-12)d$
$a_{101} = 20,5 + 89 \times 2$
$a_{101} = 20,5 + 178 = 198,5$.
Ответ: $a_{101} = 198,5$.

449. а) $a_2 + a_9$, если $a_1 + a_{10} = 120;$

б) $a_1 + a_{21}$, если $a_2 + a_{20} = 24;$

в) $a_3$, если $a_1 + a_5 = 48;$

г) $a_6$, если $a_3 + a_9 = 160.$

а) В арифметической прогрессии $(a_n)$ существует свойство, согласно которому сумма членов, равноудаленных от концов, постоянна. В более общем виде, если для индексов $m, n, p, q$ выполняется равенство $m+n = p+q$, то и для членов прогрессии выполняется равенство $a_m + a_n = a_p + a_q$.
В данной задаче требуется найти сумму $a_2 + a_9$. Сумма индексов $2+9 = 11$.
По условию дано, что $a_1 + a_{10} = 120$. Сумма индексов $1+10=11$.
Так как суммы индексов равны ($2+9 = 1+10$), то равны и суммы соответствующих членов прогрессии: $a_2 + a_9 = a_1 + a_{10}$.
Следовательно, $a_2 + a_9 = 120$.
Проверка через формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_1 + a_{10} = a_1 + (a_1 + 9d) = 2a_1 + 9d = 120$.
$a_2 + a_9 = (a_1 + d) + (a_1 + 8d) = 2a_1 + 9d$.
Оба выражения равны, значит $a_2+a_9=120$.
Ответ: 120.

б) Воспользуемся тем же свойством арифметической прогрессии, что и в предыдущем пункте: если $m+n = p+q$, то $a_m + a_n = a_p + a_q$.
Нам нужно найти сумму $a_1 + a_{21}$. Сумма индексов $1+21 = 22$.
Из условия известно, что $a_2 + a_{20} = 24$. Сумма индексов $2+20 = 22$.
Поскольку $1+21 = 2+20$, то $a_1 + a_{21} = a_2 + a_{20}$.
Таким образом, $a_1 + a_{21} = 24$.
Ответ: 24.

в) Характеристическое свойство арифметической прогрессии гласит, что любой её член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. В более общем виде: $a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}$ для $k < n$.
Нам нужно найти $a_3$. Заметим, что индекс 3 является средним арифметическим индексов 1 и 5: $\frac{1+5}{2} = 3$.
Следовательно, член $a_3$ является средним арифметическим членов $a_1$ и $a_5$: $a_3 = \frac{a_1 + a_5}{2}$.
По условию $a_1 + a_5 = 48$. Подставим это значение в формулу:
$a_3 = \frac{48}{2} = 24$.
Проверка через формулу n-го члена:
$a_1 + a_5 = a_1 + (a_1 + (5-1)d) = 2a_1 + 4d = 48$.
Разделив обе части на 2, получим $a_1 + 2d = 24$.
По определению $a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$.
Следовательно, $a_3=24$.
Ответ: 24.

г) Аналогично пункту в), используем свойство о среднем арифметическом. Нам нужно найти $a_6$. Индекс 6 является средним арифметическим для индексов 3 и 9: $\frac{3+9}{2}=6$.
Значит, член прогрессии $a_6$ является средним арифметическим для членов $a_3$ и $a_9$: $a_6 = \frac{a_3 + a_9}{2}$.
Из условия известно, что $a_3 + a_9 = 160$.
Подставляем это значение в формулу:
$a_6 = \frac{160}{2} = 80$.
Проверка через формулу n-го члена:
$a_3 + a_9 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 8d) = 2a_1 + 10d = 160$.
Разделив обе части на 2, получим $a_1 + 5d = 80$.
По определению $a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$.
Следовательно, $a_6=80$.
Ответ: 80.

450. а) $a_{17}$, если $a_{15} + a_{19} = 12$;

в) $a_5$, если $a_3 + a_7 = 6$;

б) $a_{20}$, если $a_{19} + a_{21} = -20$;

г) $a_8$, если $a_2 + a_{14} = 28.

В основе решения всех пунктов лежит свойство арифметической прогрессии, которое гласит, что любой член прогрессии $a_m$ является средним арифметическим для членов $a_k$ и $a_n$, если они равноудалены от него (т.е. $m-k = n-m$, что эквивалентно $k+n=2m$). Формула для этого свойства: $a_m = \frac{a_k + a_n}{2}$.

Рассмотрим каждый пункт подробно, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Найти $a_{17}$, если $a_{15} + a_{19} = 12$.
Выразим члены $a_{15}$ и $a_{19}$ через $a_1$ и $d$:
$a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d$
$a_{19} = a_1 + (19-1)d = a_1 + 18d$
Согласно условию, их сумма равна 12:
$a_{15} + a_{19} = (a_1 + 14d) + (a_1 + 18d) = 2a_1 + 32d = 12$
Вынесем 2 за скобки:
$2(a_1 + 16d) = 12$
Разделим обе части на 2:
$a_1 + 16d = 6$
Теперь выразим искомый член $a_{17}$:
$a_{17} = a_1 + (17-1)d = a_1 + 16d$
Сравнивая два последних выражения, получаем:
$a_{17} = 6$
Ответ: 6

Найти $a_{20}$, если $a_{19} + a_{21} = -20$.
Выразим члены $a_{19}$ и $a_{21}$ через $a_1$ и $d$:
$a_{19} = a_1 + (19-1)d = a_1 + 18d$
$a_{21} = a_1 + (21-1)d = a_1 + 20d$
Сложим их согласно условию:
$a_{19} + a_{21} = (a_1 + 18d) + (a_1 + 20d) = 2a_1 + 38d = -20$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a_1 + 19d = -10$
Выразим искомый член $a_{20}$:
$a_{20} = a_1 + (20-1)d = a_1 + 19d$
Таким образом, мы видим, что:
$a_{20} = -10$
Ответ: -10

Найти $a_{5}$, если $a_{3} + a_{7} = 6$.
Выразим члены $a_{3}$ и $a_{7}$ через $a_1$ и $d$:
$a_{3} = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_{7} = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$
Их сумма по условию равна 6:
$a_{3} + a_{7} = (a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 2a_1 + 8d = 6$
Разделим обе части на 2:
$a_1 + 4d = 3$
Теперь выразим искомый член $a_5$:
$a_{5} = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$
Следовательно:
$a_{5} = 3$
Ответ: 3

Найти $a_{8}$, если $a_{2} + a_{14} = 28$.
Выразим члены $a_{2}$ и $a_{14}$ через $a_1$ и $d$:
$a_{2} = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$
$a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d$
Сложим их согласно условию:
$a_{2} + a_{14} = (a_1 + d) + (a_1 + 13d) = 2a_1 + 14d = 28$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a_1 + 7d = 14$
Выразим искомый член $a_8$:
$a_{8} = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$
Сравнивая результаты, получаем:
$a_{8} = 14$
Ответ: 14

451. Является ли число 12 членом арифметической прогрессии:

а) -10, -8, -6, ...;

б) -11, -8, -5, ...;

в) -3, 0, 3, ...;

г) 44,5, 43, 41,5, ...?

Если да, то укажите его номер.

Чтобы определить, является ли число 12 членом арифметической прогрессии, нужно проверить, существует ли такой натуральный номер $n$, для которого член прогрессии $a_n$ будет равен 12. Для этого используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии. Если в результате решения уравнения для $n$ получится натуральное число (целое и положительное), то число 12 является членом прогрессии, и $n$ — его номер.

а) Для прогрессии $-10, -8, -6, ...$ первый член $a_1 = -10$. Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = -8 - (-10) = 2$. Подставим известные значения в формулу n-го члена, приняв $a_n = 12$: $12 = -10 + (n-1) \cdot 2$ Решим уравнение относительно $n$: $12 + 10 = 2(n-1)$ $22 = 2(n-1)$ $11 = n-1$ $n = 12$ Поскольку $n=12$ является натуральным числом, число 12 является членом этой прогрессии.
Ответ: да, является, номер 12.

б) Для прогрессии $-11, -8, -5, ...$ первый член $a_1 = -11$. Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = -8 - (-11) = 3$. Подставим известные значения в формулу, приняв $a_n = 12$: $12 = -11 + (n-1) \cdot 3$ Решим уравнение относительно $n$: $12 + 11 = 3(n-1)$ $23 = 3(n-1)$ $n-1 = \frac{23}{3}$ $n = \frac{23}{3} + 1 = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$ Поскольку $n$ не является натуральным числом, число 12 не является членом этой прогрессии.
Ответ: нет, не является.

в) Для прогрессии $-3, 0, 3, ...$ первый член $a_1 = -3$. Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 0 - (-3) = 3$. Подставим известные значения в формулу, приняв $a_n = 12$: $12 = -3 + (n-1) \cdot 3$ Решим уравнение относительно $n$: $12 + 3 = 3(n-1)$ $15 = 3(n-1)$ $5 = n-1$ $n = 6$ Поскольку $n=6$ является натуральным числом, число 12 является членом этой прогрессии.
Ответ: да, является, номер 6.

г) Для прогрессии $44,5; 43; 41,5; ...$ первый член $a_1 = 44,5$. Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 43 - 44,5 = -1,5$. Подставим известные значения в формулу, приняв $a_n = 12$: $12 = 44,5 + (n-1) \cdot (-1,5)$ Решим уравнение относительно $n$: $12 - 44,5 = -1,5(n-1)$ $-32,5 = -1,5(n-1)$ $n-1 = \frac{-32,5}{-1,5} = \frac{325}{15} = \frac{65}{3}$ $n = \frac{65}{3} + 1 = \frac{68}{3} = 22\frac{2}{3}$ Поскольку $n$ не является натуральным числом, число 12 не является членом этой прогрессии.
Ответ: нет, не является.

452. Является ли число 34 членом арифметической прогрессии $-47, -44, -41, \dots$? Если да, то укажите его номер.

Для того чтобы определить, является ли число 34 членом арифметической прогрессии, заданной последовательностью -47, -44, -41, ..., нужно проверить, существует ли такой натуральный номер $n$, для которого n-й член прогрессии $a_n$ будет равен 34.

Сначала определим параметры этой прогрессии:

1. Первый член прогрессии $a_1 = -47$.

2. Разность прогрессии $d$. Найдем ее, вычтя из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = -44 - (-47) = -44 + 47 = 3$.

Для уверенности можно проверить разность между третьим и вторым членами:

$d = a_3 - a_2 = -41 - (-44) = -41 + 44 = 3$.

Разность прогрессии постоянна и равна 3.

Теперь воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Мы хотим найти, при каком номере $n$ член прогрессии $a_n$ будет равен 34. Подставим известные значения в формулу:

$34 = -47 + (n-1) \cdot 3$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$:

$34 + 47 = (n-1) \cdot 3$

$81 = (n-1) \cdot 3$

Разделим обе части уравнения на 3:

$n - 1 = \frac{81}{3}$

$n - 1 = 27$

$n = 27 + 1$

$n = 28$

Так как мы получили натуральное число $n = 28$, это означает, что число 34 действительно является членом данной арифметической прогрессии. Его порядковый номер — 28.

Ответ: да, является. Номер этого члена — 28.

453. Сколько положительных членов имеет арифметическая прогрессия:

a) 3,8, 3,5, 3,2, ...;

б) 7,1, 6,9, 6,7, ...;

в) $14\frac{1}{3}, 13\frac{2}{3}, 13, ...;$

г) $15\frac{3}{4}, 14\frac{1}{4}, 12\frac{3}{4}, ...?$

Чтобы найти количество положительных членов арифметической прогрессии, нужно определить, для каких номеров $n$ член прогрессии $a_n$ будет больше нуля.
Дана прогрессия: 3,8; 3,5; 3,2; ...
Первый член прогрессии $a_1 = 3.8$.
Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 3.5 - 3.8 = -0.3$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Нам нужно найти все натуральные $n$, для которых $a_n > 0$. Составим и решим неравенство:
$3.8 + (n-1)(-0.3) > 0$
$3.8 - 0.3n + 0.3 > 0$
$4.1 - 0.3n > 0$
$4.1 > 0.3n$
$n < \frac{4.1}{0.3}$
$n < \frac{41}{3}$
$n < 13\frac{2}{3}$
Так как $n$ — это номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Наибольшее натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 13. Следовательно, в прогрессии 13 положительных членов.

Ответ: 13.

Дана прогрессия: 7,1; 6,9; 6,7; ...
Первый член прогрессии $a_1 = 7.1$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 6.9 - 7.1 = -0.2$.
Составим и решим неравенство $a_n > 0$:
$a_1 + (n-1)d > 0$
$7.1 + (n-1)(-0.2) > 0$
$7.1 - 0.2n + 0.2 > 0$
$7.3 - 0.2n > 0$
$7.3 > 0.2n$
$n < \frac{7.3}{0.2}$
$n < \frac{73}{2}$
$n < 36.5$
Наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — 36.

Ответ: 36.

Дана прогрессия: $14\frac{1}{3}, 13\frac{2}{3}, 13, ...$
Первый член прогрессии $a_1 = 14\frac{1}{3} = \frac{43}{3}$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 13\frac{2}{3} - 14\frac{1}{3} = \frac{41}{3} - \frac{43}{3} = -\frac{2}{3}$.
Составим и решим неравенство $a_n > 0$:
$a_1 + (n-1)d > 0$
$\frac{43}{3} + (n-1)(-\frac{2}{3}) > 0$
Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$43 - 2(n-1) > 0$
$43 - 2n + 2 > 0$
$45 - 2n > 0$
$45 > 2n$
$n < \frac{45}{2}$
$n < 22.5$
Наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — 22.

Ответ: 22.

Дана прогрессия: $15\frac{3}{4}, 14\frac{1}{4}, 12\frac{3}{4}, ...$
Первый член прогрессии $a_1 = 15\frac{3}{4} = \frac{63}{4}$.
Второй член $a_2 = 14\frac{1}{4} = \frac{57}{4}$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = \frac{57}{4} - \frac{63}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Составим и решим неравенство $a_n > 0$:
$a_1 + (n-1)d > 0$
$\frac{63}{4} + (n-1)(-\frac{3}{2}) > 0$
$\frac{63}{4} - \frac{3(n-1)}{2} > 0$
Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей:
$63 - 2 \cdot 3(n-1) > 0$
$63 - 6(n-1) > 0$
$63 - 6n + 6 > 0$
$69 - 6n > 0$
$69 > 6n$
$n < \frac{69}{6}$
$n < \frac{23}{2}$
$n < 11.5$
Наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — 11.

Ответ: 11.