Страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

475. а) Какую последовательность называют геометрической прогрессией? Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

б) Запишите формулу $n$-го члена геометрической прогрессии. Какими свойствами обладает геометрическая прогрессия?

а)

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же постоянное число.

Это постоянное число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой $q$. Знаменатель можно найти как отношение любого члена последовательности к предыдущему члену: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

Ответ: Геометрическая прогрессия — это последовательность ненулевых чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии ($q$).

б)

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии ($b_n$) с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ имеет вид:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Основные свойства геометрической прогрессии:

Характеристическое свойство. Квадрат любого члена прогрессии (начиная со второго) равен произведению его соседних членов (предыдущего и последующего):
$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ для $n \ge 2$.
Это означает, что модуль любого члена, начиная со второго, является средним геометрическим своих соседей: $|b_n| = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$.

Свойство равноудаленных членов. Для конечной геометрической прогрессии произведение членов, находящихся на одинаковом расстоянии от ее концов, является постоянной величиной, равной произведению крайних членов. Для прогрессии $b_1, b_2, \dots, b_k$:
$b_1 \cdot b_k = b_2 \cdot b_{k-1} = \dots$

Ответ: Формула $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Основные свойства: квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению его соседей ($b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$); произведение равноудаленных от концов членов конечной прогрессии постоянно.

476. a) Задана последовательность $ \{a_n\} $: 2, 4, 8, 16, .... Определите частное от деления каждого последующего члена на предшествующий.

б) Является ли последовательность $ \{a_n\} $ геометрической прогрессией?

а) Задана последовательность $\{a_n\}$: 2, 4, 8, 16, ...

Члены этой последовательности: $a_1 = 2$, $a_2 = 4$, $a_3 = 8$, $a_4 = 16$.

Чтобы определить частное от деления каждого последующего члена на предшествующий, выполним следующие вычисления:

1. Найдем частное от деления второго члена на первый:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{2} = 2$

2. Найдем частное от деления третьего члена на второй:

$\frac{a_3}{a_2} = \frac{8}{4} = 2$

3. Найдем частное от деления четвертого члена на третий:

$\frac{a_4}{a_3} = \frac{16}{8} = 2$

Как мы видим, частное от деления каждого последующего члена на предшествующий для данной последовательности является постоянным числом.

Ответ: Частное равно 2.

б) Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, не равное нулю. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии ($q$).

Другими словами, последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого её члена к предыдущему является постоянной величиной.

Из пункта а) мы выяснили, что для последовательности $\{a_n\}$ отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно и равно 2:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2$

Это полностью соответствует определению геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии $q = 2$.

Ответ: Да, последовательность $\{a_n\}$ является геометрической прогрессией.

477. a) Дана геометрическая прогрессия 1, 3, 9, 27, .... Найдите знаменатель этой прогрессии и её пятый, шестой и седьмой члены.

б) Геометрическая прогрессия задана формулой общего члена $a_n = 3 \cdot 5^{n-1}$. Найдите пять первых членов этой прогрессии.

а) Дана геометрическая прогрессия $a_n$: 1, 3, 9, 27, ...
Знаменатель геометрической прогрессии ($q$) — это постоянное число, во сколько раз каждый следующий член прогрессии больше предыдущего. Чтобы найти его, нужно разделить любой член прогрессии на предшествующий ему член.
Возьмем второй и первый члены: $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{1} = 3$.
Для проверки можно взять третьий и второй члены: $q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{9}{3} = 3$.
Следовательно, знаменатель прогрессии $q=3$.
Чтобы найти последующие члены, нужно каждый предыдущий член умножать на знаменатель $q$. Четвертый член прогрессии $a_4 = 27$.
Пятый член: $a_5 = a_4 \cdot q = 27 \cdot 3 = 81$.
Шестой член: $a_6 = a_5 \cdot q = 81 \cdot 3 = 243$.
Седьмой член: $a_7 = a_6 \cdot q = 243 \cdot 3 = 729$.

Ответ: знаменатель прогрессии равен 3; пятый член — 81, шестой — 243, седьмой — 729.

б) Геометрическая прогрессия задана формулой общего члена $a_n = 3 \cdot 5^{n-1}$.
Чтобы найти первые пять членов этой прогрессии, необходимо последовательно подставить в данную формулу натуральные числа $n=1, 2, 3, 4, 5$.
При $n=1$: $a_1 = 3 \cdot 5^{1-1} = 3 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$.
При $n=2$: $a_2 = 3 \cdot 5^{2-1} = 3 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15$.
При $n=3$: $a_3 = 3 \cdot 5^{3-1} = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.
При $n=4$: $a_4 = 3 \cdot 5^{4-1} = 3 \cdot 5^3 = 3 \cdot 125 = 375$.
При $n=5$: $a_5 = 3 \cdot 5^{5-1} = 3 \cdot 5^4 = 3 \cdot 625 = 1875$.

Ответ: первые пять членов прогрессии: 3, 15, 75, 375, 1875.

478. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

а) $1, 8, 15, 21, 26, ...;$

б) $4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...;$

в) $-2, 2, -2, 2, -2, ...;$

г) $0, 4, 16, 64, 256, ...?$

а) Чтобы последовательность была геометрической прогрессией, отношение каждого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену должно быть постоянным. Это постоянное отношение называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$. Проверим это свойство для последовательности 1, 8, 15, 21, 26, ... Обозначим члены последовательности $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, \dots$.
Найдем отношение второго члена к первому: $q_1 = \frac{b_2}{b_1} = \frac{8}{1} = 8$.
Найдем отношение третьего члена ко второму: $q_2 = \frac{b_3}{b_2} = \frac{15}{8} = 1.875$.
Так как $q_1 \neq q_2$ ($8 \neq \frac{15}{8}$), отношение между соседними членами не является постоянной величиной. Следовательно, данная последовательность не является геометрической прогрессией.
Ответ: нет.

б) Проверим последовательность 4, 2, 1, 0.5, 0.25, ... на соответствие определению геометрической прогрессии. Обозначим члены последовательности $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, \dots$.
Вычислим отношения последовательных членов:
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{4} = 0.5$
$\frac{b_3}{b_2} = \frac{1}{2} = 0.5$
$\frac{b_4}{b_3} = \frac{0.5}{1} = 0.5$
$\frac{b_5}{b_4} = \frac{0.25}{0.5} = 0.5$
Отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно и равно $q=0.5$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 0.5$.
Ответ: да.

в) Проверим последовательность -2, 2, -2, 2, -2, ... . Обозначим члены последовательности $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, \dots$.
Вычислим отношения последовательных членов:
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{-2} = -1$
$\frac{b_3}{b_2} = \frac{-2}{2} = -1$
$\frac{b_4}{b_3} = \frac{2}{-2} = -1$
$\frac{b_5}{b_4} = \frac{-2}{2} = -1$
Отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно и равно $q=-1$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = -1$.
Ответ: да.

г) Проверим последовательность 0, 4, 16, 64, 256, ... .
По определению, в геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на знаменатель прогрессии $q$: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.
Первый член данной последовательности $b_1 = 0$. Если бы эта последовательность была геометрической, то второй член $b_2$ должен был бы быть равен $b_2 = b_1 \cdot q = 0 \cdot q = 0$ при любом значении $q$.
Однако в данной последовательности $b_2 = 4$. Равенство $4 = 0 \cdot q$ не может быть выполнено ни при каком значении $q$. Таким образом, нарушается основное свойство геометрической прогрессии. Кроме того, невозможно найти знаменатель прогрессии путем деления второго члена на первый ($\frac{4}{0}$), так как деление на ноль не определено.
Ответ: нет.

479. Запишите четыре первых члена геометрической прогрессии ${a_n}$, если $a_1 = 2, q = 0,25$.

Для нахождения членов геометрической прогрессии $\{a_n\}$ используется формула, по которой каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель прогрессии $q$. Формула n-го члена выглядит так: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

В данной задаче нам известны:

Первый член прогрессии: $a_1 = 2$.
Знаменатель прогрессии: $q = 0,25$.

Требуется найти первые четыре члена прогрессии: $a_1, a_2, a_3, a_4$.

1. Первый член нам уже дан:
$a_1 = 2$.

2. Второй член находим, умножив первый член на знаменатель:
$a_2 = a_1 \cdot q = 2 \cdot 0,25 = 0,5$.

3. Третий член находим, умножив второй член на знаменатель:
$a_3 = a_2 \cdot q = 0,5 \cdot 0,25 = 0,125$.

4. Четвертый член находим, умножив третий член на знаменатель:
$a_4 = a_3 \cdot q = 0,125 \cdot 0,25 = 0,03125$.

Таким образом, первые четыре члена этой геометрической прогрессии: 2; 0,5; 0,125; 0,03125.

Ответ: 2; 0,5; 0,125; 0,03125.

480. Найдите пятый член геометрической прогрессии $3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \ldots$

Для решения данной задачи необходимо найти пятый член геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

Дана последовательность: $ 3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \dots $

Первый член геометрической прогрессии $ b_1 = 3 $.

Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, нужно разделить любой её член на предыдущий. Возьмем второй и первый члены:
$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{3} $
Проверим для следующей пары членов:
$ q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3} $
Знаменатель прогрессии $ q = \frac{1}{3} $.

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии:
$ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} $
Нам нужно найти пятый член прогрессии, то есть $ n=5 $. Подставим известные значения $ b_1 = 3 $ и $ q = \frac{1}{3} $ в формулу:
$ b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 $
$ b_5 = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 3 \cdot \frac{1}{3^4} = 3 \cdot \frac{1}{81} = \frac{3}{81} $

Сократим полученную дробь:
$ b_5 = \frac{3}{81} = \frac{1}{27} $

Ответ: $ \frac{1}{27} $

481. Задана геометрическая прогрессия $\{a_n\}$. Вычислите:

а) $a_3$, если $a_1 = 0,5$, $q = -2$;

б) $a_4$, если $a_1 = -2$, $q = 3$;

в) $a_3$ и $q$, если $a_1 = 3$, $a_2 = 4$;

г) $a_3$ и $q$, если $a_1 = -4$, $a_2 = 6$;

д) $a_1$ и $q$, если $a_2 = -1$, $a_3 = 2$;

е) $a_1$ и $q$, если $a_2 = -3$, $a_3 = -2$;

ж) $q$, если $a_5 = 4$, $a_8 = 108$;

з) $q$, если $a_4 = 5$, $a_7 = 320$.

а)

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии $\{a_n\}$ используется формула $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию, $a_1 = 0,5$ и $q = -2$. Нам нужно найти $a_3$.

Подставим значения в формулу для $n=3$:

$a_3 = a_1 \cdot q^{3-1} = a_1 \cdot q^2 = 0,5 \cdot (-2)^2 = 0,5 \cdot 4 = 2$.

Ответ: 2.

б)

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию, $a_1 = -2$ и $q = 3$. Нам нужно найти $a_4$.

Подставим значения в формулу для $n=4$:

$a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = a_1 \cdot q^3 = -2 \cdot 3^3 = -2 \cdot 27 = -54$.

Ответ: -54.

в)

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$ по формуле $q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$.

Используя $a_1 = 3$ и $a_2 = 4$, получаем:

$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{3}$.

Теперь найдем третий член прогрессии $a_3$, используя формулу $a_{n+1} = a_n \cdot q$:

$a_3 = a_2 \cdot q = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $q = \frac{4}{3}$, $a_3 = \frac{16}{3}$.

г)

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$, зная $a_1 = -4$ и $a_2 = 6$:

$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{-4} = -\frac{3}{2}$.

Далее вычислим третий член прогрессии $a_3$:

$a_3 = a_2 \cdot q = 6 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -9$.

Ответ: $q = -\frac{3}{2}$, $a_3 = -9$.

д)

Найдем знаменатель прогрессии $q$, зная $a_2 = -1$ и $a_3 = 2$:

$q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{2}{-1} = -2$.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$ из формулы $a_2 = a_1 \cdot q$:

$a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: $q = -2$, $a_1 = 0,5$.

е)

Найдем знаменатель прогрессии $q$, зная $a_2 = -3$ и $a_3 = -2$:

$q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$ из формулы $a_2 = a_1 \cdot q$:

$a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{-3}{\frac{2}{3}} = -3 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{2} = -4,5$.

Ответ: $q = \frac{2}{3}$, $a_1 = -4,5$.

ж)

Для нахождения знаменателя $q$ воспользуемся формулой, связывающей любые два члена геометрической прогрессии: $a_n = a_k \cdot q^{n-k}$.

В нашем случае $n=8$ и $k=5$, известны $a_5=4$ и $a_8=108$.

Подставляем значения в формулу:

$a_8 = a_5 \cdot q^{8-5}$

$108 = 4 \cdot q^3$

$q^3 = \frac{108}{4} = 27$

$q = \sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: 3.

з)

Используем ту же формулу $a_n = a_k \cdot q^{n-k}$.

В данном случае $n=7$ и $k=4$, известны $a_4=5$ и $a_7=320$.

Подставляем значения в формулу:

$a_7 = a_4 \cdot q^{7-4}$

$320 = 5 \cdot q^3$

$q^3 = \frac{320}{5} = 64$

$q = \sqrt[3]{64} = 4$.

Ответ: 4.

482. Даны три последовательных члена геометрической прогрессии:

а) 7; $x$; 63. Найдите $x$, если $x > 0$;

б) 2; $x$; 18. Найдите $x$, если $x < 0$;

в) 3,2; $x$; 0,2. Найдите $x$.

Для решения задачи используется характеристическое свойство геометрической прогрессии. Для любых трех последовательных членов геометрической прогрессии ($b_{n-1}$, $b_n$, $b_{n+1}$) верно, что квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

а) Даны три последовательных члена: 7; $x$; 63.
Применяя свойство геометрической прогрессии, составляем уравнение:
$x^2 = 7 \cdot 63$
$x^2 = 441$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{441}$
$x = \pm21$
Согласно условию задачи $x > 0$, поэтому мы выбираем положительное значение: $x = 21$.
Ответ: 21.

б) Даны три последовательных члена: 2; $x$; 18.
Составляем уравнение по свойству геометрической прогрессии:
$x^2 = 2 \cdot 18$
$x^2 = 36$
Извлекаем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{36}$
$x = \pm6$
Согласно условию задачи $x < 0$, поэтому мы выбираем отрицательное значение: $x = -6$.
Ответ: -6.

в) Даны три последовательных члена: 3,2; $x$; 0,2.
Составляем уравнение на основе свойства геометрической прогрессии:
$x^2 = 3,2 \cdot 0,2$
$x^2 = 0,64$
Извлекаем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{0,64}$
$x = \pm0,8$
В данном случае ограничений на знак $x$ нет, поэтому оба значения являются решением.
Ответ: $\pm0,8$.

483. Найдите $a_1$ и $q$ геометрической прогрессии $\{a_n\}$, если:

а) $a_4 - a_2 = 18$ и $a_5 - a_3 = 36;$

б) $a_1 + a_4 = 30, a_2 + a_3 = 10.$

а)

Дана геометрическая прогрессия $\{a_n\}$ со знаменателем $q$ и первым членом $a_1$. По условию задачи задана система уравнений:

$\begin{cases} a_4 - a_2 = 18 \\ a_5 - a_3 = 36 \end{cases}$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, выразим члены прогрессии, входящие в систему, через $a_1$ и $q$:

$a_2 = a_1 \cdot q^{2-1} = a_1 q$

$a_3 = a_1 \cdot q^{3-1} = a_1 q^2$

$a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = a_1 q^3$

$a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} = a_1 q^4$

Подставим эти выражения в систему уравнений:

$\begin{cases} a_1 q^3 - a_1 q = 18 \\ a_1 q^4 - a_1 q^2 = 36 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} a_1 q(q^2 - 1) = 18 \\ a_1 q^2(q^2 - 1) = 36 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое, предполагая, что $a_1 \ne 0$, $q \ne 0$ и $q^2 - 1 \ne 0$ (чтобы избежать деления на ноль):

$\frac{a_1 q^2(q^2 - 1)}{a_1 q(q^2 - 1)} = \frac{36}{18}$

После сокращения дроби получаем значение $q$:

$q = 2$

Теперь найдем $a_1$, подставив найденное значение $q=2$ в первое уравнение $a_1 q(q^2 - 1) = 18$:

$a_1 \cdot 2 \cdot (2^2 - 1) = 18$

$a_1 \cdot 2 \cdot (4 - 1) = 18$

$a_1 \cdot 2 \cdot 3 = 18$

$6a_1 = 18$

$a_1 = \frac{18}{6} = 3$

Ответ: $a_1 = 3, q = 2$.

б)

По условию задачи имеем следующую систему уравнений:

$\begin{cases} a_1 + a_4 = 30 \\ a_2 + a_3 = 10 \end{cases}$

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $q$ по формуле $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$:

$\begin{cases} a_1 + a_1 q^3 = 30 \\ a_1 q + a_1 q^2 = 10 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\begin{cases} a_1(1 + q^3) = 30 \\ a_1 q(1 + q) = 10 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе, предполагая, что $a_1 \ne 0$, $q \ne 0$ и $1+q \ne 0$:

$\frac{a_1(1 + q^3)}{a_1 q(1 + q)} = \frac{30}{10}$

Применим формулу суммы кубов $1 + q^3 = (1+q)(1-q+q^2)$ и сократим дробь:

$\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{q(1+q)} = 3$

$\frac{1-q+q^2}{q} = 3$

Решим полученное уравнение относительно $q$:

$1 - q + q^2 = 3q$

$q^2 - 4q + 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

$q_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Мы получили два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $q_2 = 2 - \sqrt{3}$. Для каждого значения $q$ найдем соответствующее значение $a_1$. Из уравнения $a_1 q(1 + q) = 10$ выразим $a_1 = \frac{10}{q(1+q)}$.

1. При $q = 2 + \sqrt{3}$:

$a_1 = \frac{10}{(2 + \sqrt{3})(1 + 2 + \sqrt{3})} = \frac{10}{(2 + \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{10}{6 + 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 3} = \frac{10}{9 + 5\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $9 - 5\sqrt{3}$:

$a_1 = \frac{10(9 - 5\sqrt{3})}{(9 + 5\sqrt{3})(9 - 5\sqrt{3})} = \frac{10(9 - 5\sqrt{3})}{9^2 - (5\sqrt{3})^2} = \frac{10(9 - 5\sqrt{3})}{81 - 75} = \frac{10(9 - 5\sqrt{3})}{6} = \frac{5(9 - 5\sqrt{3})}{3}$

2. При $q = 2 - \sqrt{3}$:

$a_1 = \frac{10}{(2 - \sqrt{3})(1 + 2 - \sqrt{3})} = \frac{10}{(2 - \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{10}{6 - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 3} = \frac{10}{9 - 5\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на $9 + 5\sqrt{3}$:

$a_1 = \frac{10(9 + 5\sqrt{3})}{(9 - 5\sqrt{3})(9 + 5\sqrt{3})} = \frac{10(9 + 5\sqrt{3})}{9^2 - (5\sqrt{3})^2} = \frac{10(9 + 5\sqrt{3})}{81 - 75} = \frac{10(9 + 5\sqrt{3})}{6} = \frac{5(9 + 5\sqrt{3})}{3}$

Таким образом, задача имеет две пары решений.

Ответ: $a_1 = \frac{5(9 - 5\sqrt{3})}{3}, q = 2 + \sqrt{3}$ или $a_1 = \frac{5(9 + 5\sqrt{3})}{3}, q = 2 - \sqrt{3}$.

484. Доказываем. Докажите, что для любой геометрической прогрессии $\{b_n\}$ верно равенство:

а) $\frac{b_9 + b_{10}}{b_7 + b_9} = \frac{b_{11} + b_{12}}{b_9 + b_{11}}$;

б) $\frac{b_5 + b_6 + b_7}{b_8 + b_9 + b_{10}} = \frac{b_{11} + b_{12} + b_{13}}{b_{14} + b_{15} + b_{16}}$.

а)

Для доказательства равенства $\frac{b_9 + b_{10}}{b_7 + b_9} = \frac{b_{11} + b_{12}}{b_9 + b_{11}}$ воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$, где $q$ - знаменатель прогрессии. Будем считать, что знаменатели в дробях не равны нулю.

Преобразуем левую часть (ЛЧ) равенства. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
ЛЧ = $\frac{b_9 + b_{10}}{b_7 + b_9} = \frac{b_9(1 + q)}{b_7(1 + q^2)}$.
Используя, что $b_9 = b_7 \cdot q^{9-7} = b_7 q^2$, получаем:
ЛЧ = $\frac{b_7 q^2 (1 + q)}{b_7 (1 + q^2)} = \frac{q^2(1+q)}{1+q^2}$.

Аналогично преобразуем правую часть (ПЧ) равенства:
ПЧ = $\frac{b_{11} + b_{12}}{b_9 + b_{11}} = \frac{b_{11}(1 + q)}{b_9(1 + q^2)}$.
Используя, что $b_{11} = b_9 \cdot q^{11-9} = b_9 q^2$, получаем:
ПЧ = $\frac{b_9 q^2 (1 + q)}{b_9 (1 + q^2)} = \frac{q^2(1+q)}{1+q^2}$.

Поскольку ЛЧ = ПЧ, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства равенства $\frac{b_5 + b_6 + b_7}{b_8 + b_9 + b_{10}} = \frac{b_{11} + b_{12} + b_{13}}{b_{14} + b_{15} + b_{16}}$ воспользуемся свойством членов геометрической прогрессии: $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$, где $q$ - знаменатель прогрессии. Будем считать, что знаменатели в дробях не равны нулю.

Рассмотрим левую часть равенства (ЛЧ): $\frac{b_5 + b_6 + b_7}{b_8 + b_9 + b_{10}}$.
Заметим, что каждый член в знаменателе получается из соответствующего члена в числителе умножением на $q^3$, так как разность их индексов равна 3:
$b_8 = b_5 \cdot q^3$, $b_9 = b_6 \cdot q^3$, $b_{10} = b_7 \cdot q^3$.
Вынесем общий множитель $q^3$ в знаменателе:
$b_8 + b_9 + b_{10} = b_5 q^3 + b_6 q^3 + b_7 q^3 = q^3(b_5 + b_6 + b_7)$.
Теперь подставим это выражение в ЛЧ:
ЛЧ = $\frac{b_5 + b_6 + b_7}{q^3(b_5 + b_6 + b_7)} = \frac{1}{q^3}$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства (ПЧ): $\frac{b_{11} + b_{12} + b_{13}}{b_{14} + b_{15} + b_{16}}$.
Здесь также каждый член знаменателя получается из соответствующего члена числителя умножением на $q^3$, так как разность их индексов равна 3:
$b_{14} = b_{11} \cdot q^3$, $b_{15} = b_{12} \cdot q^3$, $b_{16} = b_{13} \cdot q^3$.
Вынесем общий множитель $q^3$ в знаменателе:
$b_{14} + b_{15} + b_{16} = b_{11} q^3 + b_{12} q^3 + b_{13} q^3 = q^3(b_{11} + b_{12} + b_{13})$.
Подставим это выражение в ПЧ:
ПЧ = $\frac{b_{11} + b_{12} + b_{13}}{q^3(b_{11} + b_{12} + b_{13})} = \frac{1}{q^3}$.

Так как ЛЧ = $\frac{1}{q^3}$ и ПЧ = $\frac{1}{q^3}$, то ЛЧ = ПЧ, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.