Номер 475, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

475. а) Какую последовательность называют геометрической прогрессией? Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

б) Запишите формулу $n$-го члена геометрической прогрессии. Какими свойствами обладает геометрическая прогрессия?

а)

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же постоянное число.

Это постоянное число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой $q$. Знаменатель можно найти как отношение любого члена последовательности к предыдущему члену: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

Ответ: Геометрическая прогрессия — это последовательность ненулевых чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии ($q$).

б)

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии ($b_n$) с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ имеет вид:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Основные свойства геометрической прогрессии:

Характеристическое свойство. Квадрат любого члена прогрессии (начиная со второго) равен произведению его соседних членов (предыдущего и последующего):
$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ для $n \ge 2$.
Это означает, что модуль любого члена, начиная со второго, является средним геометрическим своих соседей: $|b_n| = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$.

Свойство равноудаленных членов. Для конечной геометрической прогрессии произведение членов, находящихся на одинаковом расстоянии от ее концов, является постоянной величиной, равной произведению крайних членов. Для прогрессии $b_1, b_2, \dots, b_k$:
$b_1 \cdot b_k = b_2 \cdot b_{k-1} = \dots$

Ответ: Формула $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Основные свойства: квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению его соседей ($b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$); произведение равноудаленных от концов членов конечной прогрессии постоянно.