Номер 481, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

481. Задана геометрическая прогрессия $\{a_n\}$. Вычислите:

а) $a_3$, если $a_1 = 0,5$, $q = -2$;

б) $a_4$, если $a_1 = -2$, $q = 3$;

в) $a_3$ и $q$, если $a_1 = 3$, $a_2 = 4$;

г) $a_3$ и $q$, если $a_1 = -4$, $a_2 = 6$;

д) $a_1$ и $q$, если $a_2 = -1$, $a_3 = 2$;

е) $a_1$ и $q$, если $a_2 = -3$, $a_3 = -2$;

ж) $q$, если $a_5 = 4$, $a_8 = 108$;

з) $q$, если $a_4 = 5$, $a_7 = 320$.

а)

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии $\{a_n\}$ используется формула $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию, $a_1 = 0,5$ и $q = -2$. Нам нужно найти $a_3$.

Подставим значения в формулу для $n=3$:

$a_3 = a_1 \cdot q^{3-1} = a_1 \cdot q^2 = 0,5 \cdot (-2)^2 = 0,5 \cdot 4 = 2$.

Ответ: 2.

б)

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию, $a_1 = -2$ и $q = 3$. Нам нужно найти $a_4$.

Подставим значения в формулу для $n=4$:

$a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = a_1 \cdot q^3 = -2 \cdot 3^3 = -2 \cdot 27 = -54$.

Ответ: -54.

в)

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$ по формуле $q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$.

Используя $a_1 = 3$ и $a_2 = 4$, получаем:

$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{3}$.

Теперь найдем третий член прогрессии $a_3$, используя формулу $a_{n+1} = a_n \cdot q$:

$a_3 = a_2 \cdot q = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $q = \frac{4}{3}$, $a_3 = \frac{16}{3}$.

г)

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$, зная $a_1 = -4$ и $a_2 = 6$:

$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{-4} = -\frac{3}{2}$.

Далее вычислим третий член прогрессии $a_3$:

$a_3 = a_2 \cdot q = 6 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -9$.

Ответ: $q = -\frac{3}{2}$, $a_3 = -9$.

д)

Найдем знаменатель прогрессии $q$, зная $a_2 = -1$ и $a_3 = 2$:

$q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{2}{-1} = -2$.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$ из формулы $a_2 = a_1 \cdot q$:

$a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: $q = -2$, $a_1 = 0,5$.

е)

Найдем знаменатель прогрессии $q$, зная $a_2 = -3$ и $a_3 = -2$:

$q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$ из формулы $a_2 = a_1 \cdot q$:

$a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{-3}{\frac{2}{3}} = -3 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{2} = -4,5$.

Ответ: $q = \frac{2}{3}$, $a_1 = -4,5$.

ж)

Для нахождения знаменателя $q$ воспользуемся формулой, связывающей любые два члена геометрической прогрессии: $a_n = a_k \cdot q^{n-k}$.

В нашем случае $n=8$ и $k=5$, известны $a_5=4$ и $a_8=108$.

Подставляем значения в формулу:

$a_8 = a_5 \cdot q^{8-5}$

$108 = 4 \cdot q^3$

$q^3 = \frac{108}{4} = 27$

$q = \sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: 3.

з)

Используем ту же формулу $a_n = a_k \cdot q^{n-k}$.

В данном случае $n=7$ и $k=4$, известны $a_4=5$ и $a_7=320$.

Подставляем значения в формулу:

$a_7 = a_4 \cdot q^{7-4}$

$320 = 5 \cdot q^3$

$q^3 = \frac{320}{5} = 64$

$q = \sqrt[3]{64} = 4$.

Ответ: 4.