Номер 485, страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

485. Верно ли, что геометрическая прогрессия с положительными членами:

а) возрастает и ограничена снизу, если $q > 1$;

б) убывает и ограничена сверху, если $0 < q < 1$?

а) Да, утверждение верно. Пусть дана геометрическая прогрессия $\{b_n\}$ с положительными членами. Это означает, что её первый член $b_1 > 0$ и знаменатель $q > 0$. По условию, $q > 1$. Проверим оба свойства. Во-первых, докажем, что прогрессия возрастает. Последовательность является возрастающей, если $b_{n+1} > b_n$ для всех натуральных $n$. Рассмотрим отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{b_1 q^n}{b_1 q^{n-1}} = q$. Так как по условию $q > 1$ и мы знаем, что $b_n > 0$, из $\frac{b_{n+1}}{b_n} > 1$ следует, что $b_{n+1} > b_n$. Значит, прогрессия является возрастающей. Во-вторых, докажем, что она ограничена снизу. Последовательность ограничена снизу, если существует число $m$, такое что $b_n \ge m$ для всех $n$. Поскольку прогрессия возрастает, её наименьшим членом является первый член $b_1$. Таким образом, для любого $n \ge 1$ выполняется неравенство $b_n \ge b_1$. Это означает, что последовательность ограничена снизу (например, числом $b_1$ или нулём). Так как оба условия выполнены, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б) Да, утверждение верно. Пусть дана геометрическая прогрессия $\{b_n\}$ с положительными членами, то есть $b_1 > 0$ и $q > 0$. По условию, $0 < q < 1$. Проверим оба свойства.Во-первых, докажем, что прогрессия убывает. Последовательность является убывающей, если $b_{n+1} < b_n$ для всех натуральных $n$. Рассмотрим отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Так как по условию $0 < q < 1$ и $b_n > 0$, из $\frac{b_{n+1}}{b_n} < 1$ следует, что $b_{n+1} < b_n$. Значит, прогрессия является убывающей.Во-вторых, докажем, что она ограничена сверху. Последовательность ограничена сверху, если существует число $M$, такое что $b_n \le M$ для всех $n$. Поскольку прогрессия убывает, её наибольшим членом является первый член $b_1$. Таким образом, для любого $n \ge 1$ выполняется неравенство $b_n \le b_1$. Это означает, что последовательность ограничена сверху числом $b_1$. Так как оба условия выполнены, утверждение верно.

Ответ: да, верно.