Номер 492, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

492. В геометрической прогрессии ${a_n}$, $a_1 = 1$, $q = -1$.

Вычислите:

а) $S_{100}$;

б) $S_{101}$.

Дана геометрическая прогрессия $\{a_n\}$, в которой первый член $a_1 = 1$ и знаменатель $q = -1$. Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

Так как знаменатель $q = -1 \neq 1$, мы можем применить эту формулу для решения задачи.

а) S₁₀₀

Для вычисления суммы первых 100 членов прогрессии, подставим в формулу $n = 100$, $a_1 = 1$ и $q = -1$: $S_{100} = \frac{1 \cdot (1 - (-1)^{100})}{1 - (-1)}$

Поскольку 100 — это четное число, $(-1)^{100} = 1$. Подставим это значение в формулу: $S_{100} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$

Также можно рассуждать иначе. Члены прогрессии представляют собой последовательность: $1, -1, 1, -1, \dots$. Сумма каждой пары последовательных членов $(a_{2k-1} + a_{2k})$ равна $1 + (-1) = 0$. Поскольку мы суммируем 100 членов, у нас есть ровно $100 / 2 = 50$ таких пар. Таким образом, общая сумма равна $50 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

б) S₁₀₁

Для вычисления суммы первых 101 члена прогрессии, подставим в формулу $n = 101$, $a_1 = 1$ и $q = -1$: $S_{101} = \frac{1 \cdot (1 - (-1)^{101})}{1 - (-1)}$

Поскольку 101 — это нечетное число, $(-1)^{101} = -1$. Подставим это значение в формулу: $S_{101} = \frac{1 - (-1)}{1 + 1} = \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Другой способ решения — использовать результат предыдущего пункта. Сумма $S_{101}$ равна сумме $S_{100}$ плюс сто первый член прогрессии $a_{101}$: $S_{101} = S_{100} + a_{101}$ Мы уже знаем, что $S_{100} = 0$. Найдем $a_{101}$ по формуле $n$-го члена $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$: $a_{101} = 1 \cdot (-1)^{101-1} = 1 \cdot (-1)^{100} = 1$ Следовательно, $S_{101} = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1