Номер 494, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

494. В геометрической прогрессии ${a_n}$ вычислите:

а) $S_{10}$, если $a_1 = -\frac{1}{36}$, $q = 2$;

б) $S_{10}$, если $a_1 = -\frac{1}{36}$, $q = -2$;

в) $S_6$, если $a_1 = -\frac{1}{27}$, $q = 3$;

г) $S_6$, если $a_1 = -\frac{1}{27}$, $q = -3$.

Для вычисления суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.

а) Вычислим $S_{10}$, если $a_1 = -\frac{1}{36}$, $q = 2$.

Подставим значения в формулу:

$S_{10} = \frac{-\frac{1}{36}(2^{10} - 1)}{2 - 1}$

Сначала вычислим $2^{10}$: $2^{10} = 1024$.

Теперь подставим это значение в формулу:

$S_{10} = \frac{-\frac{1}{36}(1024 - 1)}{1} = -\frac{1}{36} \cdot 1023 = -\frac{1023}{36}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$S_{10} = -\frac{1023 \div 3}{36 \div 3} = -\frac{341}{12}$

Это можно записать в виде смешанной дроби: $-28\frac{5}{12}$.

Ответ: $S_{10} = -\frac{341}{12}$.

б) Вычислим $S_{10}$, если $a_1 = -\frac{1}{36}$, $q = -2$.

Подставим значения в формулу:

$S_{10} = \frac{-\frac{1}{36}((-2)^{10} - 1)}{-2 - 1}$

Сначала вычислим $(-2)^{10}$. Так как степень четная, результат будет положительным: $(-2)^{10} = 2^{10} = 1024$.

Теперь подставим это значение в формулу:

$S_{10} = \frac{-\frac{1}{36}(1024 - 1)}{-3} = \frac{-\frac{1}{36} \cdot 1023}{-3} = \frac{1023}{36 \cdot 3} = \frac{1023}{108}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 9 (так как сумма цифр числителя 1+0+2+3=6, делится на 3, а сумма цифр знаменателя 1+0+8=9, делится на 9; проверим 1023 на 9: 1023/9=113.6... значит делим на 3):

$S_{10} = \frac{1023 \div 3}{108 \div 3} = \frac{341}{36}$

Это можно записать в виде смешанной дроби: $9\frac{17}{36}$.

Ответ: $S_{10} = \frac{341}{36}$.

в) Вычислим $S_6$, если $a_1 = -\frac{1}{27}$, $q = 3$.

Подставим значения в формулу:

$S_6 = \frac{-\frac{1}{27}(3^6 - 1)}{3 - 1}$

Сначала вычислим $3^6$: $3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$.

Теперь подставим это значение в формулу:

$S_6 = \frac{-\frac{1}{27}(729 - 1)}{2} = \frac{-\frac{1}{27} \cdot 728}{2} = -\frac{728}{27 \cdot 2} = -\frac{728}{54}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$S_6 = -\frac{728 \div 2}{54 \div 2} = -\frac{364}{27}$

Это можно записать в виде смешанной дроби: $-13\frac{13}{27}$.

Ответ: $S_6 = -\frac{364}{27}$.

г) Вычислим $S_6$, если $a_1 = -\frac{1}{27}$, $q = -3$.

Подставим значения в формулу:

$S_6 = \frac{-\frac{1}{27}((-3)^6 - 1)}{-3 - 1}$

Сначала вычислим $(-3)^6$. Так как степень четная, результат будет положительным: $(-3)^6 = 3^6 = 729$.

Теперь подставим это значение в формулу:

$S_6 = \frac{-\frac{1}{27}(729 - 1)}{-4} = \frac{-\frac{1}{27} \cdot 728}{-4} = \frac{728}{27 \cdot 4}$

Сократим дробь, разделив 728 на 4:

$728 \div 4 = 182$

$S_6 = \frac{182}{27}$

Это можно записать в виде смешанной дроби: $6\frac{20}{27}$.

Ответ: $S_6 = \frac{182}{27}$.