Номер 491, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

491. В геометрической прогрессии ${a_n}$ вычислите $S_6$, если $a_1 = 48$, $q = -\frac{1}{2}$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов.

В данной задаче нам даны следующие значения:

• Первый член прогрессии $a_1 = 48$
• Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{2}$
• Количество членов для суммирования $n = 6$

Наша задача — вычислить $S_6$. Подставим известные значения в формулу:

$S_6 = \frac{a_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{48 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^6)}{1 - (-\frac{1}{2})}$

Сначала вычислим $q^6$:

$q^6 = (-\frac{1}{2})^6 = \frac{(-1)^6}{2^6} = \frac{1}{64}$

Теперь подставим полученное значение обратно в формулу для $S_6$:

$S_6 = \frac{48 \cdot (1 - \frac{1}{64})}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{48 \cdot (1 - \frac{1}{64})}{1 + \frac{1}{2}}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе основной дроби:

В числителе: $1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

В знаменателе: $1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь выражение для $S_6$ имеет вид:

$S_6 = \frac{48 \cdot \frac{63}{64}}{\frac{3}{2}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$S_6 = 48 \cdot \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{3}$

Произведем сокращение и вычисление:

$S_6 = \frac{48 \cdot 63 \cdot 2}{64 \cdot 3}$

Сократим 48 и 64 на их общий делитель 16:

$S_6 = \frac{3 \cdot 63 \cdot 2}{4 \cdot 3}$

Сократим тройки в числителе и знаменателе:

$S_6 = \frac{63 \cdot 2}{4} = \frac{126}{4}$

Разделим 126 на 4:

$S_6 = 31.5$

Ответ: $31.5$