Страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

491. В геометрической прогрессии ${a_n}$ вычислите $S_6$, если $a_1 = 48$, $q = -\frac{1}{2}$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов.

В данной задаче нам даны следующие значения:

• Первый член прогрессии $a_1 = 48$
• Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{2}$
• Количество членов для суммирования $n = 6$

Наша задача — вычислить $S_6$. Подставим известные значения в формулу:

$S_6 = \frac{a_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{48 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^6)}{1 - (-\frac{1}{2})}$

Сначала вычислим $q^6$:

$q^6 = (-\frac{1}{2})^6 = \frac{(-1)^6}{2^6} = \frac{1}{64}$

Теперь подставим полученное значение обратно в формулу для $S_6$:

$S_6 = \frac{48 \cdot (1 - \frac{1}{64})}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{48 \cdot (1 - \frac{1}{64})}{1 + \frac{1}{2}}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе основной дроби:

В числителе: $1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

В знаменателе: $1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь выражение для $S_6$ имеет вид:

$S_6 = \frac{48 \cdot \frac{63}{64}}{\frac{3}{2}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$S_6 = 48 \cdot \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{3}$

Произведем сокращение и вычисление:

$S_6 = \frac{48 \cdot 63 \cdot 2}{64 \cdot 3}$

Сократим 48 и 64 на их общий делитель 16:

$S_6 = \frac{3 \cdot 63 \cdot 2}{4 \cdot 3}$

Сократим тройки в числителе и знаменателе:

$S_6 = \frac{63 \cdot 2}{4} = \frac{126}{4}$

Разделим 126 на 4:

$S_6 = 31.5$

Ответ: $31.5$

492. В геометрической прогрессии ${a_n}$, $a_1 = 1$, $q = -1$.

Вычислите:

а) $S_{100}$;

б) $S_{101}$.

Дана геометрическая прогрессия $\{a_n\}$, в которой первый член $a_1 = 1$ и знаменатель $q = -1$. Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

Так как знаменатель $q = -1 \neq 1$, мы можем применить эту формулу для решения задачи.

а) S₁₀₀

Для вычисления суммы первых 100 членов прогрессии, подставим в формулу $n = 100$, $a_1 = 1$ и $q = -1$: $S_{100} = \frac{1 \cdot (1 - (-1)^{100})}{1 - (-1)}$

Поскольку 100 — это четное число, $(-1)^{100} = 1$. Подставим это значение в формулу: $S_{100} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$

Также можно рассуждать иначе. Члены прогрессии представляют собой последовательность: $1, -1, 1, -1, \dots$. Сумма каждой пары последовательных членов $(a_{2k-1} + a_{2k})$ равна $1 + (-1) = 0$. Поскольку мы суммируем 100 членов, у нас есть ровно $100 / 2 = 50$ таких пар. Таким образом, общая сумма равна $50 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

б) S₁₀₁

Для вычисления суммы первых 101 члена прогрессии, подставим в формулу $n = 101$, $a_1 = 1$ и $q = -1$: $S_{101} = \frac{1 \cdot (1 - (-1)^{101})}{1 - (-1)}$

Поскольку 101 — это нечетное число, $(-1)^{101} = -1$. Подставим это значение в формулу: $S_{101} = \frac{1 - (-1)}{1 + 1} = \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Другой способ решения — использовать результат предыдущего пункта. Сумма $S_{101}$ равна сумме $S_{100}$ плюс сто первый член прогрессии $a_{101}$: $S_{101} = S_{100} + a_{101}$ Мы уже знаем, что $S_{100} = 0$. Найдем $a_{101}$ по формуле $n$-го члена $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$: $a_{101} = 1 \cdot (-1)^{101-1} = 1 \cdot (-1)^{100} = 1$ Следовательно, $S_{101} = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

493. Вычислите сумму первых десяти членов геометрической про-грессии:

a) $-32, 16, -8, 4, ...;$

б) $32, 16, 8, 4, ....$

а) -32, 16, -8, 4, ...

Это геометрическая прогрессия. Для нахождения суммы ее первых десяти членов определим ее параметры: первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = -32$.

Знаменатель прогрессии найдем, разделив второй член на первый:

$q = \frac{16}{-32} = -\frac{1}{2}$

Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

В нашем случае $n=10$. Подставим известные значения в формулу:

$S_{10} = \frac{-32 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^{10})}{1 - (-\frac{1}{2})}$

Сначала вычислим степень знаменателя:

$(-\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$

Теперь подставим это значение в основное выражение:

$S_{10} = \frac{-32 \cdot (1 - \frac{1}{1024})}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-32 \cdot (\frac{1024 - 1}{1024})}{\frac{3}{2}} = \frac{-32 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{3}{2}}$

Упростим числитель. Так как $1024 = 32 \cdot 32$, то:

$-32 \cdot \frac{1023}{1024} = -\frac{1023}{32}$

Теперь выполним деление:

$S_{10} = \frac{-\frac{1023}{32}}{\frac{3}{2}} = -\frac{1023}{32} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1023 \cdot 2}{32 \cdot 3} = -\frac{1023}{16 \cdot 3}$

Число $1023$ делится на $3$, так как сумма его цифр $1+0+2+3=6$ делится на $3$. $1023 \div 3 = 341$.

$S_{10} = -\frac{341}{16}$

Эту дробь можно записать в виде смешанного числа: $-21\frac{5}{16}$.

Ответ: $-\frac{341}{16}$.

б) 32, 16, 8, 4, ...

Это также геометрическая прогрессия. Определим ее параметры.

Первый член прогрессии: $b_1 = 32$.

Знаменатель прогрессии:

$q = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

Используем ту же формулу для суммы первых $n$ членов, где $n=10$:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставим значения $b_1 = 32$, $q = \frac{1}{2}$ и $n=10$:

$S_{10} = \frac{32 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{10})}{1 - \frac{1}{2}}$

Степень знаменателя равна:

$(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}$

Подставляем это значение обратно в формулу суммы:

$S_{10} = \frac{32 \cdot (1 - \frac{1}{1024})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{32 \cdot (\frac{1024 - 1}{1024})}{\frac{1}{2}} = \frac{32 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}}$

Упростим числитель, используя $1024 = 32 \cdot 32$:

$32 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{1023}{32}$

Теперь выполним деление:

$S_{10} = \frac{\frac{1023}{32}}{\frac{1}{2}} = \frac{1023}{32} \cdot 2 = \frac{1023}{16}$

Эту дробь можно записать в виде смешанного числа: $63\frac{15}{16}$.

Ответ: $\frac{1023}{16}$.

494. В геометрической прогрессии ${a_n}$ вычислите:

а) $S_{10}$, если $a_1 = -\frac{1}{36}$, $q = 2$;

б) $S_{10}$, если $a_1 = -\frac{1}{36}$, $q = -2$;

в) $S_6$, если $a_1 = -\frac{1}{27}$, $q = 3$;

г) $S_6$, если $a_1 = -\frac{1}{27}$, $q = -3$.

Для вычисления суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.

а) Вычислим $S_{10}$, если $a_1 = -\frac{1}{36}$, $q = 2$.

Подставим значения в формулу:

$S_{10} = \frac{-\frac{1}{36}(2^{10} - 1)}{2 - 1}$

Сначала вычислим $2^{10}$: $2^{10} = 1024$.

Теперь подставим это значение в формулу:

$S_{10} = \frac{-\frac{1}{36}(1024 - 1)}{1} = -\frac{1}{36} \cdot 1023 = -\frac{1023}{36}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$S_{10} = -\frac{1023 \div 3}{36 \div 3} = -\frac{341}{12}$

Это можно записать в виде смешанной дроби: $-28\frac{5}{12}$.

Ответ: $S_{10} = -\frac{341}{12}$.

б) Вычислим $S_{10}$, если $a_1 = -\frac{1}{36}$, $q = -2$.

Подставим значения в формулу:

$S_{10} = \frac{-\frac{1}{36}((-2)^{10} - 1)}{-2 - 1}$

Сначала вычислим $(-2)^{10}$. Так как степень четная, результат будет положительным: $(-2)^{10} = 2^{10} = 1024$.

Теперь подставим это значение в формулу:

$S_{10} = \frac{-\frac{1}{36}(1024 - 1)}{-3} = \frac{-\frac{1}{36} \cdot 1023}{-3} = \frac{1023}{36 \cdot 3} = \frac{1023}{108}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 9 (так как сумма цифр числителя 1+0+2+3=6, делится на 3, а сумма цифр знаменателя 1+0+8=9, делится на 9; проверим 1023 на 9: 1023/9=113.6... значит делим на 3):

$S_{10} = \frac{1023 \div 3}{108 \div 3} = \frac{341}{36}$

Это можно записать в виде смешанной дроби: $9\frac{17}{36}$.

Ответ: $S_{10} = \frac{341}{36}$.

в) Вычислим $S_6$, если $a_1 = -\frac{1}{27}$, $q = 3$.

Подставим значения в формулу:

$S_6 = \frac{-\frac{1}{27}(3^6 - 1)}{3 - 1}$

Сначала вычислим $3^6$: $3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$.

Теперь подставим это значение в формулу:

$S_6 = \frac{-\frac{1}{27}(729 - 1)}{2} = \frac{-\frac{1}{27} \cdot 728}{2} = -\frac{728}{27 \cdot 2} = -\frac{728}{54}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$S_6 = -\frac{728 \div 2}{54 \div 2} = -\frac{364}{27}$

Это можно записать в виде смешанной дроби: $-13\frac{13}{27}$.

Ответ: $S_6 = -\frac{364}{27}$.

г) Вычислим $S_6$, если $a_1 = -\frac{1}{27}$, $q = -3$.

Подставим значения в формулу:

$S_6 = \frac{-\frac{1}{27}((-3)^6 - 1)}{-3 - 1}$

Сначала вычислим $(-3)^6$. Так как степень четная, результат будет положительным: $(-3)^6 = 3^6 = 729$.

Теперь подставим это значение в формулу:

$S_6 = \frac{-\frac{1}{27}(729 - 1)}{-4} = \frac{-\frac{1}{27} \cdot 728}{-4} = \frac{728}{27 \cdot 4}$

Сократим дробь, разделив 728 на 4:

$728 \div 4 = 182$

$S_6 = \frac{182}{27}$

Это можно записать в виде смешанной дроби: $6\frac{20}{27}$.

Ответ: $S_6 = \frac{182}{27}$.

495. Вычислите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если:

а) разность между вторым и первым членами прогрессии равна 4, а между четвёртым и третьим равна 16;

б) разность между вторым и первым членами прогрессии равна 3, а сумма трёх её первых членов равна 21;

в) сумма трёх первых членов прогрессии равна 111, а куб её знаменателя равен $q^3 = 4$.

Для решения задачи нам понадобится формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ – первый член прогрессии, а $q$ – её знаменатель. Наша цель – найти $S_6$ в каждом из случаев.

По условию, разность между вторым и первым членами прогрессии равна 4, а между четвёртым и третьим – 16. Запишем это в виде системы уравнений, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$:

$ \begin{cases} b_2 - b_1 = 4 \\ b_4 - b_3 = 16 \end{cases} $

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$ \begin{cases} b_1q - b_1 = 4 \\ b_1q^3 - b_1q^2 = 16 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \begin{cases} b_1(q - 1) = 4 \\ b_1q^2(q - 1) = 16 \end{cases} $

Разделим второе уравнение на первое (поскольку правые части не равны нулю, то $b_1 \ne 0$ и $q \ne 1$):

$\frac{b_1q^2(q - 1)}{b_1(q - 1)} = \frac{16}{4}$

$q^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q = 2$ или $q = -2$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = 2$.

Подставим это значение в первое уравнение системы $b_1(q - 1) = 4$:

$b_1(2 - 1) = 4 \implies b_1 = 4$.

Теперь вычислим сумму первых шести членов прогрессии:

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{4(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{4(64 - 1)}{1} = 4 \cdot 63 = 252$.

Случай 2: $q = -2$.

Подставим это значение в первое уравнение системы $b_1(q - 1) = 4$:

$b_1(-2 - 1) = 4 \implies -3b_1 = 4 \implies b_1 = -\frac{4}{3}$.

Вычислим сумму первых шести членов для этого случая:

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{-\frac{4}{3}((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} = \frac{-\frac{4}{3}(64 - 1)}{-3} = \frac{-\frac{4}{3} \cdot 63}{-3} = \frac{-4 \cdot 21}{-3} = \frac{-84}{-3} = 28$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две геометрические прогрессии.

Ответ: 252 или 28.

По условию, разность между вторым и первым членами прогрессии равна 3, а сумма трёх её первых членов равна 21. Запишем это в виде системы уравнений:

$ \begin{cases} b_2 - b_1 = 3 \\ b_1 + b_2 + b_3 = 21 \end{cases} $

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$ \begin{cases} b_1q - b_1 = 3 \\ b_1 + b_1q + b_1q^2 = 21 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \begin{cases} b_1(q - 1) = 3 \\ b_1(1 + q + q^2) = 21 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b_1 = \frac{3}{q-1}$ (при $q \ne 1$) и подставим во второе уравнение:

$\frac{3}{q - 1}(1 + q + q^2) = 21$

Разделим обе части на 3:

$\frac{1 + q + q^2}{q - 1} = 7$

$1 + q + q^2 = 7(q - 1)$

$1 + q + q^2 = 7q - 7$

$q^2 - 6q + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $q_1 = 2$ и $q_2 = 4$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = 2$.

Найдем $b_1$ из уравнения $b_1(q - 1) = 3$:

$b_1(2 - 1) = 3 \implies b_1 = 3$.

Теперь вычислим сумму первых шести членов:

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{3(64 - 1)}{1} = 3 \cdot 63 = 189$.

Случай 2: $q = 4$.

Найдем $b_1$ из уравнения $b_1(q - 1) = 3$:

$b_1(4 - 1) = 3 \implies 3b_1 = 3 \implies b_1 = 1$.

Вычислим сумму первых шести членов для этого случая:

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{1(4^6 - 1)}{4 - 1} = \frac{4096 - 1}{3} = \frac{4095}{3} = 1365$.

Таким образом, и в этом пункте условию задачи удовлетворяют две прогрессии.

Ответ: 189 или 1365.

По условию, сумма трёх первых членов прогрессии равна 111, а куб её знаменателя равен 4.

$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 111$

$q^3 = 4$

Нам нужно найти $S_6$. Запишем $S_6$ и преобразуем выражение:

$S_6 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6$

Сгруппируем слагаемые:

$S_6 = (b_1 + b_2 + b_3) + (b_4 + b_5 + b_6)$

Первая скобка – это $S_3$. Во второй скобке вынесем за скобки $q^3$:

$b_4 + b_5 + b_6 = b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 = q^3(b_1 + b_1q + b_1q^2) = q^3(b_1 + b_2 + b_3) = q^3 S_3$

Таким образом, получаем элегантную формулу:

$S_6 = S_3 + q^3 S_3 = S_3(1 + q^3)$

Подставим известные значения $S_3 = 111$ и $q^3 = 4$:

$S_6 = 111(1 + 4) = 111 \cdot 5 = 555$.

Ответ: 555.

496. Сумма первых десяти членов геометрической прогрессии равна $64$, произведение первого и десятого членов равно $16$. Найдите сумму чисел, обратных этим десяти членам геометрической прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда последовательность первых десяти членов имеет вид: $b_1, b_1q, b_1q^2, \dots, b_1q^9$.

По условию задачи даны:
1. Сумма первых десяти членов: $S_{10} = b_1 + b_2 + \dots + b_{10} = 64$.
2. Произведение первого и десятого членов: $b_1 \cdot b_{10} = 16$.

Требуется найти сумму чисел, обратных этим десяти членам. Обозначим эту сумму как $S'_{10}$:$S'_{10} = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_{10}}$

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:$S'_{10} = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1q} + \frac{1}{b_1q^2} + \dots + \frac{1}{b_1q^9}$

Приведем все дроби в этой сумме к общему знаменателю. Общий знаменатель для этих слагаемых равен $b_1q^9$.$S'_{10} = \frac{q^9 + q^8 + q^7 + \dots + q + 1}{b_1q^9}$

Рассмотрим сумму $S_{10}$, данную в условии:$S_{10} = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^9$Вынесем $b_1$ за скобки:$S_{10} = b_1(1 + q + q^2 + \dots + q^9)$

Из этого выражения мы можем выразить числитель дроби для $S'_{10}$:$1 + q + q^2 + \dots + q^9 = \frac{S_{10}}{b_1}$

Теперь подставим это выражение в формулу для $S'_{10}$:$S'_{10} = \frac{\frac{S_{10}}{b_1}}{b_1q^9} = \frac{S_{10}}{b_1 \cdot b_1q^9} = \frac{S_{10}}{b_1^2q^9}$

Используем второе условие задачи: произведение первого и десятого членов равно 16. Десятый член прогрессии $b_{10}$ равен $b_1q^9$.$b_1 \cdot b_{10} = b_1 \cdot (b_1q^9) = b_1^2q^9$По условию, $b_1 \cdot b_{10} = 16$, следовательно, $b_1^2q^9 = 16$.

Подставим известные значения $S_{10} = 64$ и $b_1^2q^9 = 16$ в нашу формулу для $S'_{10}$:$S'_{10} = \frac{64}{16} = 4$

Ответ: 4