Номер 493, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

493. Вычислите сумму первых десяти членов геометрической про-грессии:

a) $-32, 16, -8, 4, ...;$

б) $32, 16, 8, 4, ....$

а) -32, 16, -8, 4, ...

Это геометрическая прогрессия. Для нахождения суммы ее первых десяти членов определим ее параметры: первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = -32$.

Знаменатель прогрессии найдем, разделив второй член на первый:

$q = \frac{16}{-32} = -\frac{1}{2}$

Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

В нашем случае $n=10$. Подставим известные значения в формулу:

$S_{10} = \frac{-32 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^{10})}{1 - (-\frac{1}{2})}$

Сначала вычислим степень знаменателя:

$(-\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$

Теперь подставим это значение в основное выражение:

$S_{10} = \frac{-32 \cdot (1 - \frac{1}{1024})}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-32 \cdot (\frac{1024 - 1}{1024})}{\frac{3}{2}} = \frac{-32 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{3}{2}}$

Упростим числитель. Так как $1024 = 32 \cdot 32$, то:

$-32 \cdot \frac{1023}{1024} = -\frac{1023}{32}$

Теперь выполним деление:

$S_{10} = \frac{-\frac{1023}{32}}{\frac{3}{2}} = -\frac{1023}{32} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1023 \cdot 2}{32 \cdot 3} = -\frac{1023}{16 \cdot 3}$

Число $1023$ делится на $3$, так как сумма его цифр $1+0+2+3=6$ делится на $3$. $1023 \div 3 = 341$.

$S_{10} = -\frac{341}{16}$

Эту дробь можно записать в виде смешанного числа: $-21\frac{5}{16}$.

Ответ: $-\frac{341}{16}$.

б) 32, 16, 8, 4, ...

Это также геометрическая прогрессия. Определим ее параметры.

Первый член прогрессии: $b_1 = 32$.

Знаменатель прогрессии:

$q = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

Используем ту же формулу для суммы первых $n$ членов, где $n=10$:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставим значения $b_1 = 32$, $q = \frac{1}{2}$ и $n=10$:

$S_{10} = \frac{32 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{10})}{1 - \frac{1}{2}}$

Степень знаменателя равна:

$(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}$

Подставляем это значение обратно в формулу суммы:

$S_{10} = \frac{32 \cdot (1 - \frac{1}{1024})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{32 \cdot (\frac{1024 - 1}{1024})}{\frac{1}{2}} = \frac{32 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}}$

Упростим числитель, используя $1024 = 32 \cdot 32$:

$32 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{1023}{32}$

Теперь выполним деление:

$S_{10} = \frac{\frac{1023}{32}}{\frac{1}{2}} = \frac{1023}{32} \cdot 2 = \frac{1023}{16}$

Эту дробь можно записать в виде смешанного числа: $63\frac{15}{16}$.

Ответ: $\frac{1023}{16}$.