Номер 486, страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

486. Определите, возрастает или убывает геометрическая прогрессия ${a_n}$:

а) если $a_1 < 0, q > 1$;

б) если $a_1 < 0, 0 < q < 1$.

Является ли она ограниченной?

Для анализа геометрической прогрессии $\{a_n\}$ с первым членом $a_1$ и знаменателем $q$ воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

Последовательность называется возрастающей, если каждый следующий ее член больше предыдущего, то есть $a_{n+1} > a_n$ для всех $n \ge 1$.

Последовательность называется убывающей, если каждый следующий ее член меньше предыдущего, то есть $a_{n+1} < a_n$ для всех $n \ge 1$.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что $|a_n| \le M$ для всех $n \ge 1$. Это равносильно тому, что последовательность ограничена и сверху, и снизу.

а) если $a_1 < 0$, $q > 1$
Рассмотрим разность между последующим и предыдущим членами прогрессии: $a_{n+1} - a_n = a_1 q^n - a_1 q^{n-1} = a_1 q^{n-1}(q - 1)$.
Проанализируем знак этого выражения по условиям задачи:

• $a_1 < 0$ (отрицательное число).
• Поскольку $q > 1$, то $q^{n-1} > 0$ для любого $n \ge 1$ (положительное число).
• Поскольку $q > 1$, то $q-1 > 0$ (положительное число).

Произведение отрицательного числа на два положительных будет отрицательным: $a_1 q^{n-1}(q - 1) < 0$. Следовательно, $a_{n+1} - a_n < 0$, что означает $a_{n+1} < a_n$. Прогрессия является убывающей.
Теперь определим, является ли она ограниченной. Так как $a_1 < 0$ и $q > 1$, то с каждым шагом модуль члена прогрессии будет увеличиваться, а сам член, будучи отрицательным, будет уменьшаться. Например, если $a_1 = -2$ и $q = 3$, то последовательность будет: $-2, -6, -18, -54, \dots$. Предел этой последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_1 q^{n-1} = -\infty$, так как $a_1 < 0$ и $q^{n-1} \to \infty$. Последовательность ограничена сверху (например, числом $a_1$), но не ограничена снизу. Следовательно, она не является ограниченной.
Ответ: прогрессия убывает; она не является ограниченной.

б) если $a_1 < 0$, $0 < q < 1$
Снова рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n = a_1 q^{n-1}(q - 1)$.
Проанализируем знак этого выражения по условиям задачи:

• $a_1 < 0$ (отрицательное число).
• Поскольку $0 < q < 1$, то $q^{n-1} > 0$ для любого $n \ge 1$ (положительное число).
• Поскольку $0 < q < 1$, то $q-1 < 0$ (отрицательное число).

Произведение отрицательного числа, положительного и еще одного отрицательного будет положительным: $a_1 q^{n-1}(q - 1) > 0$. Следовательно, $a_{n+1} - a_n > 0$, что означает $a_{n+1} > a_n$. Прогрессия является возрастающей.
Теперь определим, является ли она ограниченной. Так как $a_1 < 0$ и $0 < q < 1$, то все члены прогрессии будут отрицательными. Например, если $a_1 = -16$ и $q = 1/2$, то последовательность будет: $-16, -8, -4, -2, \dots$. Поскольку прогрессия возрастает, ее первый член $a_1$ будет наименьшим. Значит, последовательность ограничена снизу числом $a_1$. Найдем предел последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_1 q^{n-1} = 0$, так как $a_1$ — константа, а $q^{n-1} \to 0$ при $0 < q < 1$. Так как последовательность возрастает и стремится к 0, она ограничена сверху числом 0. Поскольку последовательность ограничена и снизу, и сверху, она является ограниченной.
Ответ: прогрессия возрастает; она является ограниченной.