Номер 488, страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

488. В начале месяца вкладчик положил на счёт в банке $a$ р. при условии, что в конце каждого месяца на его счёт будет начисляться $p\%$ от той суммы вклада, которая будет находиться на его счёте в начале этого месяца. Вкладчик не снимал деньги со счёта $n$ месяцев, а в начале $(n + 1)$-го месяца снял со счёта все деньги в сумме $b$ р.

а) Какую сумму вкладчик снял со счёта, если $a = 600\,000$, $p = 1$, $n = 2$?

б) Какую сумму вкладчик положил на счёт, если $b = 530\,604$, $p = 2$, $n = 3$?

в) Покажите, как ответ к каждой из задач а) и б) можно получить с помощью формулы общего члена геометрической прогрессии.

а) По условию, начальная сумма вклада $a = 600\,000$ рублей, процентная ставка $p = 1\%$ в месяц, и срок вклада $n = 2$ месяца. Нужно найти итоговую сумму $b$.
Каждый месяц сумма на счете увеличивается на 1%, то есть умножается на коэффициент $1 + \frac{1}{100} = 1.01$.
Сумма на счете после начисления процентов за 1-й месяц (в начале 2-го месяца) составляет:
$S_1 = 600\,000 \cdot 1.01 = 606\,000$ р.
Сумма на счете после начисления процентов за 2-й месяц (в начале 3-го месяца) составляет:
$S_2 = 606\,000 \cdot 1.01 = 612\,060$ р.
Вкладчик не снимал деньги 2 месяца, а в начале 3-го месяца снял всю сумму. Эта сумма и есть $S_2$.
Ответ: 612 060 р.

б) По условию, итоговая сумма $b = 530\,604$ рубля, процентная ставка $p = 2\%$ в месяц, и срок вклада $n = 3$ месяца. Нужно найти начальную сумму $a$.
Каждый месяц сумма на счете увеличивалась на 2%, то есть умножалась на коэффициент $1 + \frac{2}{100} = 1.02$.
Пусть $a$ — начальная сумма. Через 3 месяца она стала равной $b$. Это означает, что начальная сумма была последовательно умножена на 1.02 три раза:
$a \cdot (1.02)^3 = b$
$a \cdot (1.02)^3 = 530\,604$
Вычислим $(1.02)^3$: $(1.02)^3 = 1.02 \cdot 1.02 \cdot 1.02 = 1.0404 \cdot 1.02 = 1.061208$.
Теперь найдем $a$, разделив итоговую сумму на полученный коэффициент:
$a = \frac{530\,604}{1.061208} = 500\,000$ р.
Ответ: 500 000 р.

в) Сумма на счете в начале каждого месяца образует геометрическую прогрессию. Обозначим эту последовательность как $c_k$, где $c_k$ — это сумма на счете в начале k-го месяца.
Первый член прогрессии $c_1$ — это начальная сумма вклада $a$.
Каждый месяц сумма увеличивается в $\left(1 + \frac{p}{100}\right)$ раз. Это и есть знаменатель геометрической прогрессии $q$.
$q = 1 + \frac{p}{100}$.
Сумма на счете в начале k-го месяца находится по формуле общего члена геометрической прогрессии: $c_k = c_1 \cdot q^{k-1}$.
Деньги снимаются в начале (n+1)-го месяца, то есть снятая сумма $b$ равна $(n+1)$-му члену прогрессии, $c_{n+1}$.
$b = c_{n+1} = c_1 \cdot q^{(n+1)-1} = c_1 \cdot q^n$.
Подставив $c_1 = a$ и $q = 1 + \frac{p}{100}$, мы получаем формулу, связывающую начальную и конечную суммы: $b = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$.
Применение к задаче а):
Дано: $a = 600\,000, p=1, n=2$.
Первый член прогрессии $c_1 = a = 600\,000$. Знаменатель $q = 1 + \frac{1}{100} = 1.01$.
Искомая сумма $b$ — это член прогрессии $c_{n+1} = c_{2+1} = c_3$.
$b = c_3 = c_1 \cdot q^{2} = 600\,000 \cdot (1.01)^2 = 612\,060$ р.
Применение к задаче б):
Дано: $b = 530\,604, p=2, n=3$.
Знаменатель прогрессии $q = 1 + \frac{2}{100} = 1.02$.
Конечная сумма $b=c_{n+1} = c_{3+1} = c_4 = 530\,604$. Искомая сумма $a$ — это первый член $c_1$.
Из формулы $c_4 = c_1 \cdot q^3$ находим $c_1$:
$a = c_1 = \frac{c_4}{q^3} = \frac{530\,604}{(1.02)^3} = \frac{530\,604}{1.061208} = 500\,000$ р.
Таким образом, было показано, как ответы к задачам а) и б) получаются с помощью формулы общего члена геометрической прогрессии.
Ответ: Суммы на счете в начале каждого месяца образуют геометрическую прогрессию $c_k$ с первым членом $c_1=a$ и знаменателем $q=1+\frac{p}{100}$. Итоговая сумма $b$ является $(n+1)$-м членом этой прогрессии: $b=c_{n+1}=a \cdot q^n$. Применение этой формулы к условиям задач а) и б) дает ответы 612 060 р. и 500 000 р. соответственно.