Номер 483, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

483. Найдите $a_1$ и $q$ геометрической прогрессии $\{a_n\}$, если:

а) $a_4 - a_2 = 18$ и $a_5 - a_3 = 36;$

б) $a_1 + a_4 = 30, a_2 + a_3 = 10.$

а)

Дана геометрическая прогрессия $\{a_n\}$ со знаменателем $q$ и первым членом $a_1$. По условию задачи задана система уравнений:

$\begin{cases} a_4 - a_2 = 18 \\ a_5 - a_3 = 36 \end{cases}$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, выразим члены прогрессии, входящие в систему, через $a_1$ и $q$:

$a_2 = a_1 \cdot q^{2-1} = a_1 q$

$a_3 = a_1 \cdot q^{3-1} = a_1 q^2$

$a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = a_1 q^3$

$a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} = a_1 q^4$

Подставим эти выражения в систему уравнений:

$\begin{cases} a_1 q^3 - a_1 q = 18 \\ a_1 q^4 - a_1 q^2 = 36 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} a_1 q(q^2 - 1) = 18 \\ a_1 q^2(q^2 - 1) = 36 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое, предполагая, что $a_1 \ne 0$, $q \ne 0$ и $q^2 - 1 \ne 0$ (чтобы избежать деления на ноль):

$\frac{a_1 q^2(q^2 - 1)}{a_1 q(q^2 - 1)} = \frac{36}{18}$

После сокращения дроби получаем значение $q$:

$q = 2$

Теперь найдем $a_1$, подставив найденное значение $q=2$ в первое уравнение $a_1 q(q^2 - 1) = 18$:

$a_1 \cdot 2 \cdot (2^2 - 1) = 18$

$a_1 \cdot 2 \cdot (4 - 1) = 18$

$a_1 \cdot 2 \cdot 3 = 18$

$6a_1 = 18$

$a_1 = \frac{18}{6} = 3$

Ответ: $a_1 = 3, q = 2$.

б)

По условию задачи имеем следующую систему уравнений:

$\begin{cases} a_1 + a_4 = 30 \\ a_2 + a_3 = 10 \end{cases}$

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $q$ по формуле $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$:

$\begin{cases} a_1 + a_1 q^3 = 30 \\ a_1 q + a_1 q^2 = 10 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\begin{cases} a_1(1 + q^3) = 30 \\ a_1 q(1 + q) = 10 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе, предполагая, что $a_1 \ne 0$, $q \ne 0$ и $1+q \ne 0$:

$\frac{a_1(1 + q^3)}{a_1 q(1 + q)} = \frac{30}{10}$

Применим формулу суммы кубов $1 + q^3 = (1+q)(1-q+q^2)$ и сократим дробь:

$\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{q(1+q)} = 3$

$\frac{1-q+q^2}{q} = 3$

Решим полученное уравнение относительно $q$:

$1 - q + q^2 = 3q$

$q^2 - 4q + 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

$q_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Мы получили два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $q_2 = 2 - \sqrt{3}$. Для каждого значения $q$ найдем соответствующее значение $a_1$. Из уравнения $a_1 q(1 + q) = 10$ выразим $a_1 = \frac{10}{q(1+q)}$.

1. При $q = 2 + \sqrt{3}$:

$a_1 = \frac{10}{(2 + \sqrt{3})(1 + 2 + \sqrt{3})} = \frac{10}{(2 + \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{10}{6 + 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 3} = \frac{10}{9 + 5\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $9 - 5\sqrt{3}$:

$a_1 = \frac{10(9 - 5\sqrt{3})}{(9 + 5\sqrt{3})(9 - 5\sqrt{3})} = \frac{10(9 - 5\sqrt{3})}{9^2 - (5\sqrt{3})^2} = \frac{10(9 - 5\sqrt{3})}{81 - 75} = \frac{10(9 - 5\sqrt{3})}{6} = \frac{5(9 - 5\sqrt{3})}{3}$

2. При $q = 2 - \sqrt{3}$:

$a_1 = \frac{10}{(2 - \sqrt{3})(1 + 2 - \sqrt{3})} = \frac{10}{(2 - \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{10}{6 - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 3} = \frac{10}{9 - 5\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на $9 + 5\sqrt{3}$:

$a_1 = \frac{10(9 + 5\sqrt{3})}{(9 - 5\sqrt{3})(9 + 5\sqrt{3})} = \frac{10(9 + 5\sqrt{3})}{9^2 - (5\sqrt{3})^2} = \frac{10(9 + 5\sqrt{3})}{81 - 75} = \frac{10(9 + 5\sqrt{3})}{6} = \frac{5(9 + 5\sqrt{3})}{3}$

Таким образом, задача имеет две пары решений.

Ответ: $a_1 = \frac{5(9 - 5\sqrt{3})}{3}, q = 2 + \sqrt{3}$ или $a_1 = \frac{5(9 + 5\sqrt{3})}{3}, q = 2 - \sqrt{3}$.