Номер 477, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

477. a) Дана геометрическая прогрессия 1, 3, 9, 27, .... Найдите знаменатель этой прогрессии и её пятый, шестой и седьмой члены.

б) Геометрическая прогрессия задана формулой общего члена $a_n = 3 \cdot 5^{n-1}$. Найдите пять первых членов этой прогрессии.

а) Дана геометрическая прогрессия $a_n$: 1, 3, 9, 27, ...
Знаменатель геометрической прогрессии ($q$) — это постоянное число, во сколько раз каждый следующий член прогрессии больше предыдущего. Чтобы найти его, нужно разделить любой член прогрессии на предшествующий ему член.
Возьмем второй и первый члены: $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{1} = 3$.
Для проверки можно взять третьий и второй члены: $q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{9}{3} = 3$.
Следовательно, знаменатель прогрессии $q=3$.
Чтобы найти последующие члены, нужно каждый предыдущий член умножать на знаменатель $q$. Четвертый член прогрессии $a_4 = 27$.
Пятый член: $a_5 = a_4 \cdot q = 27 \cdot 3 = 81$.
Шестой член: $a_6 = a_5 \cdot q = 81 \cdot 3 = 243$.
Седьмой член: $a_7 = a_6 \cdot q = 243 \cdot 3 = 729$.

Ответ: знаменатель прогрессии равен 3; пятый член — 81, шестой — 243, седьмой — 729.

б) Геометрическая прогрессия задана формулой общего члена $a_n = 3 \cdot 5^{n-1}$.
Чтобы найти первые пять членов этой прогрессии, необходимо последовательно подставить в данную формулу натуральные числа $n=1, 2, 3, 4, 5$.
При $n=1$: $a_1 = 3 \cdot 5^{1-1} = 3 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$.
При $n=2$: $a_2 = 3 \cdot 5^{2-1} = 3 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15$.
При $n=3$: $a_3 = 3 \cdot 5^{3-1} = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.
При $n=4$: $a_4 = 3 \cdot 5^{4-1} = 3 \cdot 5^3 = 3 \cdot 125 = 375$.
При $n=5$: $a_5 = 3 \cdot 5^{5-1} = 3 \cdot 5^4 = 3 \cdot 625 = 1875$.

Ответ: первые пять членов прогрессии: 3, 15, 75, 375, 1875.