Номер 474, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

474. Доказываем.

В арифметической прогрессии сумма первых $m$ членов равна сумме первых $n$ членов ($m \ne n$). Докажите, что сумма первых $(m + n)$ членов равна нулю.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность.

Формула суммы первых $k$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_k = \frac{2a_1 + d(k-1)}{2} \cdot k$

По условию задачи, сумма первых $m$ членов равна сумме первых $n$ членов, то есть $S_m = S_n$, причём $m \neq n$. Запишем это равенство, используя формулу суммы: $\frac{2a_1 + d(m-1)}{2} \cdot m = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Умножим обе части уравнения на 2 и раскроем скобки: $(2a_1 + dm - d) \cdot m = (2a_1 + dn - d) \cdot n$ $2a_1m + dm^2 - dm = 2a_1n + dn^2 - dn$

Перенесём все члены в левую часть уравнения и сгруппируем их по общим множителям: $(2a_1m - 2a_1n) + (dm^2 - dn^2) - (dm - dn) = 0$ $2a_1(m - n) + d(m^2 - n^2) - d(m - n) = 0$

Используя формулу разности квадратов $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$, вынесем общий множитель $(m - n)$ за скобки: $(m - n) [2a_1 + d(m + n) - d] = 0$

Так как по условию $m \neq n$, то разность $m - n \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(m - n)$, не равное нулю: $2a_1 + d(m + n) - d = 0$ $2a_1 + d(m + n - 1) = 0$

Теперь нам нужно доказать, что сумма первых $(m + n)$ членов прогрессии, $S_{m+n}$, равна нулю. Запишем формулу для этой суммы: $S_{m+n} = \frac{2a_1 + d(m+n-1)}{2} \cdot (m+n)$

Из полученного ранее равенства мы знаем, что выражение в числителе дроби, $2a_1 + d(m+n-1)$, равно нулю. Подставим это значение в формулу для $S_{m+n}$: $S_{m+n} = \frac{0}{2} \cdot (m+n) = 0$

Таким образом, доказано, что сумма первых $(m + n)$ членов данной арифметической прогрессии равна нулю.

Ответ: утверждение доказано.