Номер 472, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

472. Задача Пифагора (580–500 гг. до н. э.).

Найдите сумму первых нечётных натуральных чисел:

$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1).$

Данная задача предлагает найти сумму первых $n$ нечётных натуральных чисел. Последовательность $1, 3, 5, \dots, (2n - 1)$ представляет собой арифметическую прогрессию.

Для решения задачи можно использовать формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии.

Определим параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии: $a_1 = 1$.
• n-й член прогрессии, который является последним в сумме: $a_n = 2n - 1$.
• Количество членов в сумме: $n$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит так:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Теперь подставим в эту формулу наши значения для $a_1$ и $a_n$:

$S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n$

Упростим выражение в числителе дроби:

$S_n = \frac{1 + 2n - 1}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n$

Сократив $2$ в числителе и знаменателе, получаем конечный результат:

$S_n = n \cdot n = n^2$

Интересно, что этот результат имеет красивую геометрическую интерпретацию, которую, вероятно, и использовали пифагорейцы. Сумма последовательных нечётных чисел образует квадрат:

• $1 = 1^2$
• $1 + 3 = 4 = 2^2$
• $1 + 3 + 5 = 9 = 3^2$
• $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$

Это можно представить как построение квадратов. Начав с квадрата $1 \times 1$, мы добавляем L-образную фигуру (гномон) из 3-х блоков, чтобы получить квадрат $2 \times 2$. Затем добавляем гномон из 5-и блоков, чтобы получить квадрат $3 \times 3$, и так далее. Количество блоков в n-м гномоне, который достраивает квадрат $(n-1) \times (n-1)$ до квадрата $n \times n$, равно $n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1$, что и является n-м нечётным числом.

Таким образом, сумма первых $n$ нечётных натуральных чисел всегда равна квадрату их количества.

Ответ: $n^2$.