Номер 466, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

466. Сложили несколько первых членов арифметической прогрессии ${a_n}$ и получили 430. Сколько членов сложили, если ${a_1 = -7, d = 3?}$

Для нахождения количества членов арифметической прогрессии воспользуемся формулой для суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

В данной задаче известны следующие значения:

• Сумма первых $n$ членов $S_n = 430$;
• Первый член прогрессии $a_1 = -7$;
• Разность прогрессии $d = 3$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти неизвестное количество членов $n$:

$430 = \frac{2 \cdot (-7) + 3 \cdot (n-1)}{2} \cdot n$

Для решения этого уравнения сначала умножим обе его части на 2:

$860 = (2 \cdot (-7) + 3(n-1)) \cdot n$

Теперь упростим выражение в скобках:

$860 = (-14 + 3n - 3) \cdot n$

$860 = (3n - 17) \cdot n$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$860 = 3n^2 - 17n$

$3n^2 - 17n - 860 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-860) = 289 + 12 \cdot 860 = 289 + 10320 = 10609$

Найдем корни уравнения, используя формулу $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{10609} = 103$

$n_1 = \frac{-(-17) + 103}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 103}{6} = \frac{120}{6} = 20$

$n_2 = \frac{-(-17) - 103}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 103}{6} = \frac{-86}{6} = -\frac{43}{3}$

Количество членов прогрессии $n$ по определению является натуральным числом. Поэтому корень $n_2 = -\frac{43}{3}$ не является решением задачи, так как он отрицательный и нецелый.

Следовательно, единственный подходящий корень — это $n = 20$.

Ответ: 20