Номер 460, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

460. Вычислите сумму:

а) $1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100;$

б) $30 + 31 + 32 + \dots + 38 + 39 + 40;$

в) $11 + 12 + 13 + \dots + 87 + 88 + 89.$

Для решения данных задач мы будем использовать формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$,

где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — последний член прогрессии, а $n$ — количество членов.

Во всех трех случаях мы имеем дело с последовательностью целых чисел, следующих друг за другом, поэтому разность прогрессии равна 1. Количество членов $n$ в такой последовательности можно вычислить по формуле: $n = a_n - a_1 + 1$.

а) 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

Это сумма первых 100 натуральных чисел, которая является арифметической прогрессией.

• Первый член прогрессии $a_1 = 1$.
• Последний член прогрессии $a_n = 100$.
• Количество членов $n = 100$.

Подставим эти значения в формулу суммы:

$S_{100} = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = \frac{101 \cdot 100}{2} = 101 \cdot 50 = 5050$.

Этот метод также известен как метод Гаусса, который заключается в попарном сложении чисел с начала и с конца ряда: $1+100=101$, $2+99=101$, и так далее. Всего таких пар будет $100 / 2 = 50$. Сумма равна $101 \cdot 50 = 5050$.

Ответ: 5050.

б) 30 + 31 + 32 + ... + 38 + 39 + 40

Данная сумма также является арифметической прогрессией.

• Первый член прогрессии $a_1 = 30$.
• Последний член прогрессии $a_n = 40$.
• Вычислим количество членов $n = a_n - a_1 + 1 = 40 - 30 + 1 = 11$.

Теперь найдем сумму по формуле:

$S_{11} = \frac{(30 + 40) \cdot 11}{2} = \frac{70 \cdot 11}{2} = 35 \cdot 11 = 385$.

Ответ: 385.

в) 11 + 12 + 13 + ... + 87 + 88 + 89

Это еще один пример суммы членов арифметической прогрессии.

• Первый член прогрессии $a_1 = 11$.
• Последний член прогрессии $a_n = 89$.
• Вычислим количество членов $n = a_n - a_1 + 1 = 89 - 11 + 1 = 79$.

Подставляем значения в формулу суммы:

$S_{79} = \frac{(11 + 89) \cdot 79}{2} = \frac{100 \cdot 79}{2} = 50 \cdot 79 = 3950$.

Ответ: 3950.