Номер 453, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

453. Сколько положительных членов имеет арифметическая прогрессия:

a) 3,8, 3,5, 3,2, ...;

б) 7,1, 6,9, 6,7, ...;

в) $14\frac{1}{3}, 13\frac{2}{3}, 13, ...;$

г) $15\frac{3}{4}, 14\frac{1}{4}, 12\frac{3}{4}, ...?$

Чтобы найти количество положительных членов арифметической прогрессии, нужно определить, для каких номеров $n$ член прогрессии $a_n$ будет больше нуля.
Дана прогрессия: 3,8; 3,5; 3,2; ...
Первый член прогрессии $a_1 = 3.8$.
Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 3.5 - 3.8 = -0.3$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Нам нужно найти все натуральные $n$, для которых $a_n > 0$. Составим и решим неравенство:
$3.8 + (n-1)(-0.3) > 0$
$3.8 - 0.3n + 0.3 > 0$
$4.1 - 0.3n > 0$
$4.1 > 0.3n$
$n < \frac{4.1}{0.3}$
$n < \frac{41}{3}$
$n < 13\frac{2}{3}$
Так как $n$ — это номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Наибольшее натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 13. Следовательно, в прогрессии 13 положительных членов.

Ответ: 13.

Дана прогрессия: 7,1; 6,9; 6,7; ...
Первый член прогрессии $a_1 = 7.1$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 6.9 - 7.1 = -0.2$.
Составим и решим неравенство $a_n > 0$:
$a_1 + (n-1)d > 0$
$7.1 + (n-1)(-0.2) > 0$
$7.1 - 0.2n + 0.2 > 0$
$7.3 - 0.2n > 0$
$7.3 > 0.2n$
$n < \frac{7.3}{0.2}$
$n < \frac{73}{2}$
$n < 36.5$
Наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — 36.

Ответ: 36.

Дана прогрессия: $14\frac{1}{3}, 13\frac{2}{3}, 13, ...$
Первый член прогрессии $a_1 = 14\frac{1}{3} = \frac{43}{3}$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 13\frac{2}{3} - 14\frac{1}{3} = \frac{41}{3} - \frac{43}{3} = -\frac{2}{3}$.
Составим и решим неравенство $a_n > 0$:
$a_1 + (n-1)d > 0$
$\frac{43}{3} + (n-1)(-\frac{2}{3}) > 0$
Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$43 - 2(n-1) > 0$
$43 - 2n + 2 > 0$
$45 - 2n > 0$
$45 > 2n$
$n < \frac{45}{2}$
$n < 22.5$
Наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — 22.

Ответ: 22.

Дана прогрессия: $15\frac{3}{4}, 14\frac{1}{4}, 12\frac{3}{4}, ...$
Первый член прогрессии $a_1 = 15\frac{3}{4} = \frac{63}{4}$.
Второй член $a_2 = 14\frac{1}{4} = \frac{57}{4}$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = \frac{57}{4} - \frac{63}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Составим и решим неравенство $a_n > 0$:
$a_1 + (n-1)d > 0$
$\frac{63}{4} + (n-1)(-\frac{3}{2}) > 0$
$\frac{63}{4} - \frac{3(n-1)}{2} > 0$
Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей:
$63 - 2 \cdot 3(n-1) > 0$
$63 - 6(n-1) > 0$
$63 - 6n + 6 > 0$
$69 - 6n > 0$
$69 > 6n$
$n < \frac{69}{6}$
$n < \frac{23}{2}$
$n < 11.5$
Наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — 11.

Ответ: 11.