Номер 450, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

450. а) $a_{17}$, если $a_{15} + a_{19} = 12$;

в) $a_5$, если $a_3 + a_7 = 6$;

б) $a_{20}$, если $a_{19} + a_{21} = -20$;

г) $a_8$, если $a_2 + a_{14} = 28.

В основе решения всех пунктов лежит свойство арифметической прогрессии, которое гласит, что любой член прогрессии $a_m$ является средним арифметическим для членов $a_k$ и $a_n$, если они равноудалены от него (т.е. $m-k = n-m$, что эквивалентно $k+n=2m$). Формула для этого свойства: $a_m = \frac{a_k + a_n}{2}$.

Рассмотрим каждый пункт подробно, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Найти $a_{17}$, если $a_{15} + a_{19} = 12$.
Выразим члены $a_{15}$ и $a_{19}$ через $a_1$ и $d$:
$a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d$
$a_{19} = a_1 + (19-1)d = a_1 + 18d$
Согласно условию, их сумма равна 12:
$a_{15} + a_{19} = (a_1 + 14d) + (a_1 + 18d) = 2a_1 + 32d = 12$
Вынесем 2 за скобки:
$2(a_1 + 16d) = 12$
Разделим обе части на 2:
$a_1 + 16d = 6$
Теперь выразим искомый член $a_{17}$:
$a_{17} = a_1 + (17-1)d = a_1 + 16d$
Сравнивая два последних выражения, получаем:
$a_{17} = 6$
Ответ: 6

Найти $a_{20}$, если $a_{19} + a_{21} = -20$.
Выразим члены $a_{19}$ и $a_{21}$ через $a_1$ и $d$:
$a_{19} = a_1 + (19-1)d = a_1 + 18d$
$a_{21} = a_1 + (21-1)d = a_1 + 20d$
Сложим их согласно условию:
$a_{19} + a_{21} = (a_1 + 18d) + (a_1 + 20d) = 2a_1 + 38d = -20$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a_1 + 19d = -10$
Выразим искомый член $a_{20}$:
$a_{20} = a_1 + (20-1)d = a_1 + 19d$
Таким образом, мы видим, что:
$a_{20} = -10$
Ответ: -10

Найти $a_{5}$, если $a_{3} + a_{7} = 6$.
Выразим члены $a_{3}$ и $a_{7}$ через $a_1$ и $d$:
$a_{3} = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_{7} = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$
Их сумма по условию равна 6:
$a_{3} + a_{7} = (a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 2a_1 + 8d = 6$
Разделим обе части на 2:
$a_1 + 4d = 3$
Теперь выразим искомый член $a_5$:
$a_{5} = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$
Следовательно:
$a_{5} = 3$
Ответ: 3

Найти $a_{8}$, если $a_{2} + a_{14} = 28$.
Выразим члены $a_{2}$ и $a_{14}$ через $a_1$ и $d$:
$a_{2} = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$
$a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d$
Сложим их согласно условию:
$a_{2} + a_{14} = (a_1 + d) + (a_1 + 13d) = 2a_1 + 14d = 28$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a_1 + 7d = 14$
Выразим искомый член $a_8$:
$a_{8} = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$
Сравнивая результаты, получаем:
$a_{8} = 14$
Ответ: 14