Номер 448, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

В арифметической прогрессии ${a_n}$ найдите (448–450):

448. а) ${a_2}$ и ${d}$, если ${a_1 = 5, a_3 = 13;}$

б) ${a_1}$ и ${d}$, если ${a_2 = 3, a_{10} = 19;}$

в) ${a_2}$ и ${d}$, если ${a_{12} = -2, a_3 = 7;}$

г) ${a_{101}}$, если ${a_{12} = 20,5, a_7 = 10,5.}$

а) Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Для $n=3$ имеем $a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$.
Подставим в формулу известные значения $a_1 = 5$ и $a_3 = 13$:
$13 = 5 + 2d$
$2d = 13 - 5$
$2d = 8$
$d = 4$
Теперь найдем второй член прогрессии $a_2$ по формуле $a_2 = a_1 + d$:
$a_2 = 5 + 4 = 9$.
Ответ: $a_2 = 9, d = 4$.

б) Для нахождения разности прогрессии $d$ используем формулу, связывающую два любых члена прогрессии: $a_n = a_m + (n-m)d$.
Подставим известные значения $a_2 = 3$ и $a_{10} = 19$:
$a_{10} = a_2 + (10-2)d$
$19 = 3 + 8d$
$8d = 19 - 3$
$8d = 16$
$d = 2$
Первый член прогрессии $a_1$ найдем из формулы $a_2 = a_1 + d$:
$3 = a_1 + 2$
$a_1 = 1$.
Ответ: $a_1 = 1, d = 2$.

в) Сначала найдем разность прогрессии $d$ по формуле $a_n = a_m + (n-m)d$.
Подставим известные значения $a_{12} = -2$ и $a_3 = 7$:
$a_{12} = a_3 + (12-3)d$
$-2 = 7 + 9d$
$9d = -2 - 7$
$9d = -9$
$d = -1$
Второй член прогрессии $a_2$ найдем из соотношения $a_3 = a_2 + d$:
$7 = a_2 + (-1)$
$a_2 = 7 + 1 = 8$.
Ответ: $a_2 = 8, d = -1$.

г) Сначала найдем разность прогрессии $d$ по формуле $a_n = a_m + (n-m)d$.
Подставим известные значения $a_{12} = 20,5$ и $a_7 = 10,5$:
$a_{12} = a_7 + (12-7)d$
$20,5 = 10,5 + 5d$
$5d = 20,5 - 10,5$
$5d = 10$
$d = 2$
Теперь найдем $a_{101}$, выразив его через известный член прогрессии, например $a_{12}$:
$a_{101} = a_{12} + (101-12)d$
$a_{101} = 20,5 + 89 \times 2$
$a_{101} = 20,5 + 178 = 198,5$.
Ответ: $a_{101} = 198,5$.