Номер 449, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

449. а) $a_2 + a_9$, если $a_1 + a_{10} = 120;$

б) $a_1 + a_{21}$, если $a_2 + a_{20} = 24;$

в) $a_3$, если $a_1 + a_5 = 48;$

г) $a_6$, если $a_3 + a_9 = 160.$

а) В арифметической прогрессии $(a_n)$ существует свойство, согласно которому сумма членов, равноудаленных от концов, постоянна. В более общем виде, если для индексов $m, n, p, q$ выполняется равенство $m+n = p+q$, то и для членов прогрессии выполняется равенство $a_m + a_n = a_p + a_q$.
В данной задаче требуется найти сумму $a_2 + a_9$. Сумма индексов $2+9 = 11$.
По условию дано, что $a_1 + a_{10} = 120$. Сумма индексов $1+10=11$.
Так как суммы индексов равны ($2+9 = 1+10$), то равны и суммы соответствующих членов прогрессии: $a_2 + a_9 = a_1 + a_{10}$.
Следовательно, $a_2 + a_9 = 120$.
Проверка через формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_1 + a_{10} = a_1 + (a_1 + 9d) = 2a_1 + 9d = 120$.
$a_2 + a_9 = (a_1 + d) + (a_1 + 8d) = 2a_1 + 9d$.
Оба выражения равны, значит $a_2+a_9=120$.
Ответ: 120.

б) Воспользуемся тем же свойством арифметической прогрессии, что и в предыдущем пункте: если $m+n = p+q$, то $a_m + a_n = a_p + a_q$.
Нам нужно найти сумму $a_1 + a_{21}$. Сумма индексов $1+21 = 22$.
Из условия известно, что $a_2 + a_{20} = 24$. Сумма индексов $2+20 = 22$.
Поскольку $1+21 = 2+20$, то $a_1 + a_{21} = a_2 + a_{20}$.
Таким образом, $a_1 + a_{21} = 24$.
Ответ: 24.

в) Характеристическое свойство арифметической прогрессии гласит, что любой её член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. В более общем виде: $a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}$ для $k < n$.
Нам нужно найти $a_3$. Заметим, что индекс 3 является средним арифметическим индексов 1 и 5: $\frac{1+5}{2} = 3$.
Следовательно, член $a_3$ является средним арифметическим членов $a_1$ и $a_5$: $a_3 = \frac{a_1 + a_5}{2}$.
По условию $a_1 + a_5 = 48$. Подставим это значение в формулу:
$a_3 = \frac{48}{2} = 24$.
Проверка через формулу n-го члена:
$a_1 + a_5 = a_1 + (a_1 + (5-1)d) = 2a_1 + 4d = 48$.
Разделив обе части на 2, получим $a_1 + 2d = 24$.
По определению $a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$.
Следовательно, $a_3=24$.
Ответ: 24.

г) Аналогично пункту в), используем свойство о среднем арифметическом. Нам нужно найти $a_6$. Индекс 6 является средним арифметическим для индексов 3 и 9: $\frac{3+9}{2}=6$.
Значит, член прогрессии $a_6$ является средним арифметическим для членов $a_3$ и $a_9$: $a_6 = \frac{a_3 + a_9}{2}$.
Из условия известно, что $a_3 + a_9 = 160$.
Подставляем это значение в формулу:
$a_6 = \frac{160}{2} = 80$.
Проверка через формулу n-го члена:
$a_3 + a_9 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 8d) = 2a_1 + 10d = 160$.
Разделив обе части на 2, получим $a_1 + 5d = 80$.
По определению $a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$.
Следовательно, $a_6=80$.
Ответ: 80.