Номер 457, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

457. Предприниматель взял в банке кредит на сумму $a$ р. при условии, что в конце каждого месяца его долг перед банком будет увеличиваться на $p\%$ от суммы взятого кредита. Предприниматель вернул деньги банку сполна в сумме $b$ р. через $n$ месяцев.

а) Какую сумму предприниматель вернул банку, если $a = 500\,000$, $p = 2$, $n = 10$?

б) На какую сумму предприниматель взял кредит, если $p = 2$, $n = 12$, $b = 992\,000$?

в) Через сколько месяцев предприниматель вернул банку деньги, если $a = 600\,000$, $p = 3$, $b = 852\,000$?

г) Под какой процент в месяц предприниматель взял кредит, если $a = 700\,000$, $n = 6$, $b = 910\,000$?

В условии задачи описана схема начисления простых процентов. Проценты начисляются каждый месяц на первоначальную сумму долга $a$. Ежемесячное увеличение долга составляет $a \cdot \frac{p}{100}$ рублей. За $n$ месяцев общая сумма начисленных процентов составит $n \cdot a \cdot \frac{p}{100}$. Итоговая сумма к возврату $b$ складывается из первоначальной суммы кредита $a$ и всех начисленных процентов.

Таким образом, общая формула, связывающая все переменные, выглядит так:

$b = a + n \cdot \frac{a \cdot p}{100}$ или $b = a \cdot (1 + \frac{n \cdot p}{100})$

Используем эту формулу для решения всех подпунктов задачи.

а) Какую сумму предприниматель вернул банку, если a = 500 000, p = 2, n = 10?
Дано: $a = 500 000$ р., $p = 2$, $n = 10$.
Подставим значения в формулу, чтобы найти итоговую сумму $b$:
$b = 500 000 \cdot (1 + \frac{10 \cdot 2}{100}) = 500 000 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 500 000 \cdot (1 + 0,2) = 500 000 \cdot 1,2 = 600 000$ р.
Ответ: 600 000 рублей.

б) На какую сумму предприниматель взял кредит, если p = 2, n = 12, b = 992 000?
Дано: $p = 2$, $n = 12$, $b = 992 000$ р.
Выразим начальную сумму кредита $a$ из общей формулы: $a = \frac{b}{1 + \frac{n \cdot p}{100}}$.
Подставим известные значения:
$a = \frac{992 000}{1 + \frac{12 \cdot 2}{100}} = \frac{992 000}{1 + \frac{24}{100}} = \frac{992 000}{1 + 0,24} = \frac{992 000}{1,24} = 800 000$ р.
Ответ: 800 000 рублей.

в) Через сколько месяцев предприниматель вернул банку деньги, если a = 600 000, p = 3, b = 852 000?
Дано: $a = 600 000$ р., $p = 3$, $b = 852 000$ р.
Выразим срок кредита $n$ из общей формулы: $\frac{b}{a} = 1 + \frac{n \cdot p}{100} \implies n = (\frac{b}{a} - 1) \cdot \frac{100}{p}$.
Подставим известные значения:
$n = (\frac{852 000}{600 000} - 1) \cdot \frac{100}{3} = (1,42 - 1) \cdot \frac{100}{3} = 0,42 \cdot \frac{100}{3} = \frac{42}{3} = 14$ месяцев.
Ответ: 14 месяцев.

г) Под какой процент в месяц предприниматель взял кредит, если a = 700 000, n = 6, b = 910 000?
Дано: $a = 700 000$ р., $n = 6$, $b = 910 000$ р.
Выразим процентную ставку $p$ из общей формулы: $\frac{b}{a} = 1 + \frac{n \cdot p}{100} \implies p = (\frac{b}{a} - 1) \cdot \frac{100}{n}$.
Подставим известные значения:
$p = (\frac{910 000}{700 000} - 1) \cdot \frac{100}{6} = (\frac{91}{70} - 1) \cdot \frac{100}{6} = (1,3 - 1) \cdot \frac{100}{6} = 0,3 \cdot \frac{100}{6} = \frac{30}{6} = 5$.
Ответ: 5%.