Номер 464, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

464. а) Определите сумму первых 40 чётных натуральных чисел.

б) Определите сумму всех трёхзначных натуральных чисел.

в) Определите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, кратных 3.

а)
Последовательность первых 40 чётных натуральных чисел (2, 4, 6, ...) представляет собой арифметическую прогрессию. Для нахождения её суммы воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Определим параметры для данной задачи:
- Первый член прогрессии: $a_1 = 2$.
- Количество членов: $n = 40$.
- Последний, 40-й член прогрессии, это 40-е чётное число: $a_{40} = 2 \cdot 40 = 80$.
Теперь подставим значения в формулу и вычислим сумму:
$S_{40} = \frac{2 + 80}{2} \cdot 40 = \frac{82}{2} \cdot 40 = 41 \cdot 40 = 1640$.
Ответ: 1640

б)
Все трёхзначные натуральные числа (от 100 до 999) образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=1$. Для нахождения их суммы используем формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Определим параметры этой прогрессии:
- Первый член: $a_1 = 100$.
- Последний член: $a_n = 999$.
- Количество членов $n$ найдем по формуле $n = (\text{последний член} - \text{первый член}) + 1$: $n = 999 - 100 + 1 = 900$.
Вычислим сумму:
$S_{900} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = \frac{1099}{2} \cdot 900 = 1099 \cdot 450 = 494550$.
Ответ: 494550

в)
Натуральные числа от 1 до 100, кратные 3, образуют арифметическую прогрессию (3, 6, 9, ...). Для нахождения их суммы используем формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Определим параметры этой прогрессии:
- Первый член (наименьшее натуральное число от 1 до 100, кратное 3): $a_1 = 3$.
- Последний член (наибольшее натуральное число от 1 до 100, кратное 3): $a_n = 99$.
- Количество членов $n$ можно найти, разделив последний член на разность прогрессии $d=3$: $n = \frac{99}{3} = 33$.
Подставим значения в формулу суммы:
$S_{33} = \frac{3 + 99}{2} \cdot 33 = \frac{102}{2} \cdot 33 = 51 \cdot 33 = 1683$.
Ответ: 1683