gdz.top
Номер 470, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов
Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки: зелёный в сеточку
ISBN: 978-5-09-087635-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Глава 3. Последовательности. Параграф 7. Арифметическая прогрессия. 7.2. Сумма первых n членов арифметической прогрессии - номер 470, страница 132.
№469
№470 (с. 132)
Условие. №470 (с. 132)
470. Доказываем.
Докажите, что для любой арифметической прогрессии $a_n$ справедлива формула
$S_{2n-1} = a_n(2n-1)$
Решение 1. №470 (с. 132)
Решение 2. №470 (с. 132)
Решение 3. №470 (с. 132)
Для доказательства справедливости формулы $S_{2n-1} = a_n(2n-1)$ для любой арифметической прогрессии $\{a_n\}$ воспользуемся одной из стандартных формул для суммы первых $k$ членов арифметической прогрессии.
Формула суммы первых $k$ членов арифметической прогрессии, выраженная через первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$, имеет вид: $S_k = \frac{2a_1 + (k-1)d}{2} \cdot k$.
Нам необходимо найти сумму первых $2n-1$ членов, поэтому подставим в эту формулу $k = 2n-1$: $S_{2n-1} = \frac{2a_1 + ((2n-1)-1)d}{2} \cdot (2n-1)$.
Упростим выражение в скобках в числителе: $S_{2n-1} = \frac{2a_1 + (2n-2)d}{2} \cdot (2n-1)$.
Теперь вынесем общий множитель 2 из числителя дроби: $S_{2n-1} = \frac{2(a_1 + (n-1)d)}{2} \cdot (2n-1)$.
Сократим дробь на 2: $S_{2n-1} = (a_1 + (n-1)d) \cdot (2n-1)$.
Заметим, что выражение в скобках, $a_1 + (n-1)d$, по определению является формулой для $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n$. То есть, $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Сделаем замену выражения в скобках на $a_n$: $S_{2n-1} = a_n \cdot (2n-1)$.
Таким образом, мы доказали, что для любой арифметической прогрессии справедлива формула $S_{2n-1} = a_n(2n-1)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 470 расположенного на странице 132 к учебнику серии мгу - школе 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №470 (с. 132), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.