Номер 465, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

465. Определите сумму всех двузначных чисел:

а) делящихся на 3;

б) делящихся на 4;

в) делящихся и на 3, и на 4;

г) не делящихся ни на 3, ни на 4.

а) делящихся на 3;

Двузначные числа, которые делятся на 3, представляют собой арифметическую прогрессию. Найдем первый и последний члены этой прогрессии. Первое двузначное число, делящееся на 3, это 12. Последнее — 99.

Итак, у нас есть арифметическая прогрессия, где:

• первый член $a_1 = 12$;
• последний член $a_n = 99$;
• разность прогрессии $d = 3$.

Сначала найдем количество членов этой прогрессии по формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$:
$n = \frac{99 - 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$.

Теперь вычислим сумму этих 30 чисел по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{30} = \frac{12 + 99}{2} \cdot 30 = \frac{111}{2} \cdot 30 = 111 \cdot 15 = 1665$.

Ответ: 1665.

б) делящихся на 4;

Аналогично, двузначные числа, делящиеся на 4, образуют арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $a_1 = 12$. Последний член $a_n = 96$ (так как $99, 98, 97$ не делятся на 4, а $96 = 4 \cdot 24$). Разность прогрессии $d = 4$.

Найдем количество членов прогрессии:
$n = \frac{96 - 12}{4} + 1 = \frac{84}{4} + 1 = 21 + 1 = 22$.

Вычислим сумму этих 22 чисел:
$S_{22} = \frac{12 + 96}{2} \cdot 22 = \frac{108}{2} \cdot 22 = 54 \cdot 22 = 1188$.

Ответ: 1188.

в) делящихся и на 3, и на 4;

Числа, которые делятся и на 3, и на 4, делятся на их наименьшее общее кратное (НОК). $НОК(3, 4) = 12$. Значит, нам нужна сумма двузначных чисел, делящихся на 12. Они также образуют арифметическую прогрессию. Первый член $a_1 = 12$. Последний член $a_n = 96$ (так как $12 \cdot 8 = 96$, а $12 \cdot 9 = 108$, что уже не двузначное число). Разность прогрессии $d = 12$.

Найдем количество членов прогрессии:
$n = \frac{96 - 12}{12} + 1 = \frac{84}{12} + 1 = 7 + 1 = 8$.

Вычислим сумму этих 8 чисел:
$S_8 = \frac{12 + 96}{2} \cdot 8 = \frac{108}{2} \cdot 8 = 54 \cdot 8 = 432$.

Ответ: 432.

г) не делящихся ни на 3, ни на 4.

Чтобы решить эту задачу, мы найдем общую сумму всех двузначных чисел, а затем вычтем из нее сумму чисел, которые делятся на 3 или на 4.

1. Найдем сумму всех двузначных чисел (от 10 до 99). Это арифметическая прогрессия с $a_1 = 10$, $a_n = 99$ и количеством членов $n = 99 - 10 + 1 = 90$.
$S_{общ} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$.

2. Найдем сумму чисел, делящихся на 3 или на 4, используя формулу включений-исключений: сумма чисел, делящихся на 3, плюс сумма чисел, делящихся на 4, минус сумма чисел, делящихся на оба числа (т.е. на 12), чтобы не считать их дважды.
$S_{3 \text{ или } 4} = S_3 + S_4 - S_{12}$
Используя результаты из пунктов а), б) и в):
$S_{3 \text{ или } 4} = 1665 + 1188 - 432 = 2853 - 432 = 2421$.

3. Теперь вычтем эту сумму из общей суммы всех двузначных чисел:
$S_{искомая} = S_{общ} - S_{3 \text{ или } 4} = 4905 - 2421 = 2484$.

Ответ: 2484.