Номер 468, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

468. В арифметической прогрессии ${a_n}$: ${a_5} = 11$, ${a_8} = 17$. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия $\{a_n\}$, в которой известны пятый и восьмой члены: $a_5 = 11$ и $a_8 = 17$. Необходимо найти сумму первых десяти членов этой прогрессии, $S_{10}$.

1. Нахождение разности арифметической прогрессии (d)

Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Мы можем выразить один член прогрессии через другой. Например, $a_8$ можно выразить через $a_5$:

$a_8 = a_5 + (8-5)d$

Подставим известные значения:

$17 = 11 + 3d$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:

$3d = 17 - 11$

$3d = 6$

$d = 2$

Итак, разность прогрессии равна 2.

2. Нахождение первого члена прогрессии ($a_1$)

Теперь, зная разность $d$, мы можем найти первый член $a_1$, используя формулу для $a_5$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d$

$11 = a_1 + 4d$

Подставим найденное значение $d=2$:

$11 = a_1 + 4 \cdot 2$

$11 = a_1 + 8$

$a_1 = 11 - 8$

$a_1 = 3$

Итак, первый член прогрессии равен 3.

3. Нахождение суммы первых десяти членов прогрессии ($S_{10}$)

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Нам нужно найти сумму первых десяти членов, то есть $n=10$. Подставим в формулу значения $a_1=3$ и $d=2$:

$S_{10} = \frac{2 \cdot 3 + 2(10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{6 + 2 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{6 + 18}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{24}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 12 \cdot 10 = 120$

Ответ: 120