Номер 463, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

463. а) $S_{10}$, если $a_2 = 1$, $d = -2$;

б) $S_5$, если $a_8 = 4$, $d = -1$;

в) $S_{17}$, если $a_9 = 2$;

г) $S_{19}$, если $a_{10} = 4$.

а)

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

В данной задаче нам нужно найти $S_{10}$. Нам даны $a_2 = 1$ и $d = -2$. Сначала необходимо найти первый член прогрессии $a_1$.

Формула для n-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Для $n=2$ имеем: $a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$.
Подставим известные значения: $1 = a_1 + (-2)$.
Отсюда находим $a_1$: $a_1 = 1 + 2 = 3$.

Теперь, когда известны $a_1=3$ и $d=-2$, мы можем найти $S_{10}$.
$S_{10} = \frac{2a_1 + (10-1)d}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot 3 + 9 \cdot (-2)}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{6 - 18}{2} \cdot 10 = \frac{-12}{2} \cdot 10 = -6 \cdot 10 = -60$.

Ответ: $S_{10} = -60$.

б)

Нужно найти $S_5$, если известны $a_8 = 4$ и $d = -1$.
Сначала найдём первый член прогрессии $a_1$, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для $n=8$ имеем: $a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$.
Подставим известные значения: $4 = a_1 + 7 \cdot (-1)$.
$4 = a_1 - 7$.
Отсюда находим $a_1$: $a_1 = 4 + 7 = 11$.

Теперь найдём $S_5$ по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
$S_5 = \frac{2a_1 + (5-1)d}{2} \cdot 5 = \frac{2 \cdot 11 + 4 \cdot (-1)}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{22 - 4}{2} \cdot 5 = \frac{18}{2} \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$.

Ответ: $S_5 = 45$.

в)

Нужно найти $S_{17}$, если известен $a_9 = 2$. Разность прогрессии $d$ не задана.

Используем формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Для $n=17$ имеем: $S_{17} = \frac{2a_1 + (17-1)d}{2} \cdot 17 = \frac{2a_1 + 16d}{2} \cdot 17$.
Вынесем 2 за скобки в числителе: $S_{17} = \frac{2(a_1 + 8d)}{2} \cdot 17 = (a_1 + 8d) \cdot 17$.

Выражение $a_1 + 8d$ по формуле n-го члена является девятым членом прогрессии: $a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$.
Так как по условию $a_9 = 2$, мы можем подставить это значение в формулу для суммы.
$S_{17} = a_9 \cdot 17 = 2 \cdot 17 = 34$.

Этот результат также следует из свойства арифметической прогрессии: если число членов нечётно ($n = 2k-1$), то сумма равна произведению числа членов на средний член ($S_n = n \cdot a_k$). В нашем случае $n=17$, средний член - $a_9$.

Ответ: $S_{17} = 34$.

г)

Нужно найти $S_{19}$, если известен $a_{10} = 4$.

Эта задача аналогична предыдущей. Будем использовать тот же подход.
Формула для суммы $S_{19}$:
$S_{19} = \frac{2a_1 + (19-1)d}{2} \cdot 19 = \frac{2a_1 + 18d}{2} \cdot 19$.
$S_{19} = \frac{2(a_1 + 9d)}{2} \cdot 19 = (a_1 + 9d) \cdot 19$.

Выражение $a_1 + 9d$ является десятым членом прогрессии: $a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$.
По условию $a_{10} = 4$.
Подставляем это значение: $S_{19} = a_{10} \cdot 19 = 4 \cdot 19 = 76$.

Ответ: $S_{19} = 76$.