Номер 473, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

473. Задача из папируса Ахмеса (XVIII–XVII вв. до н. э.).

Разделите 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет $ \frac{1}{8} $ меры.

Данная задача представляет собой задачу на арифметическую прогрессию. Количество хлеба, которое получает каждый из 10 человек, является последовательными членами арифметической прогрессии.

Обозначим условия задачи в терминах арифметической прогрессии:

• Число членов прогрессии (количество человек) $n = 10$.
• Сумма всех членов прогрессии (общее количество хлеба) $S_{10} = 10$ мер.
• Разность прогрессии (на сколько порция следующего человека больше порции предыдущего) $d = \frac{1}{8}$ меры.

Нам необходимо найти все члены этой прогрессии от $a_1$ до $a_{10}$.

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Здесь $a_1$ — это количество хлеба, которое получил первый человек. Подставим в формулу известные нам значения, чтобы найти $a_1$.

$10 = \frac{2a_1 + \frac{1}{8}(10-1)}{2} \cdot 10$

Сократим уравнение, разделив обе части на 10:

$1 = \frac{2a_1 + \frac{1}{8} \cdot 9}{2}$

$1 = \frac{2a_1 + \frac{9}{8}}{2}$

Умножим обе части на 2:

$2 = 2a_1 + \frac{9}{8}$

Теперь найдем $2a_1$:

$2a_1 = 2 - \frac{9}{8} = \frac{16}{8} - \frac{9}{8} = \frac{7}{8}$

И, наконец, найдем $a_1$:

$a_1 = \frac{7}{8 \cdot 2} = \frac{7}{16}$

Таким образом, первый человек получил $\frac{7}{16}$ меры хлеба. Зная первый член и разность прогрессии ($d = \frac{1}{8} = \frac{2}{16}$), мы можем найти долю каждого человека:

• 1-й человек: $a_1 = \frac{7}{16}$ меры
• 2-й человек: $a_2 = \frac{7}{16} + \frac{2}{16} = \frac{9}{16}$ меры
• 3-й человек: $a_3 = \frac{9}{16} + \frac{2}{16} = \frac{11}{16}$ меры
• 4-й человек: $a_4 = \frac{11}{16} + \frac{2}{16} = \frac{13}{16}$ меры
• 5-й человек: $a_5 = \frac{13}{16} + \frac{2}{16} = \frac{15}{16}$ меры
• 6-й человек: $a_6 = \frac{15}{16} + \frac{2}{16} = \frac{17}{16}$ или $1 \frac{1}{16}$ меры
• 7-й человек: $a_7 = \frac{17}{16} + \frac{2}{16} = \frac{19}{16}$ или $1 \frac{3}{16}$ меры
• 8-й человек: $a_8 = \frac{19}{16} + \frac{2}{16} = \frac{21}{16}$ или $1 \frac{5}{16}$ меры
• 9-й человек: $a_9 = \frac{21}{16} + \frac{2}{16} = \frac{23}{16}$ или $1 \frac{7}{16}$ меры
• 10-й человек: $a_{10} = \frac{23}{16} + \frac{2}{16} = \frac{25}{16}$ или $1 \frac{9}{16}$ меры

Для проверки можно сложить все доли и убедиться, что в сумме они дают 10 мер. Используем формулу суммы через первый и последний члены:

$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot n = \frac{\frac{7}{16} + \frac{25}{16}}{2} \cdot 10 = \frac{\frac{32}{16}}{2} \cdot 10 = \frac{2}{2} \cdot 10 = 10$

Расчеты верны. Если бы доли уменьшались, мы бы получили тот же набор чисел, но в обратном порядке.

Ответ: доли хлеба для 10 человек составляют $\frac{7}{16}, \frac{9}{16}, \frac{11}{16}, \frac{13}{16}, \frac{15}{16}, \frac{17}{16}, \frac{19}{16}, \frac{21}{16}, \frac{23}{16}, \frac{25}{16}$ мер.