Номер 478, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

478. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

а) $1, 8, 15, 21, 26, ...;$

б) $4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...;$

в) $-2, 2, -2, 2, -2, ...;$

г) $0, 4, 16, 64, 256, ...?$

а) Чтобы последовательность была геометрической прогрессией, отношение каждого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену должно быть постоянным. Это постоянное отношение называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$. Проверим это свойство для последовательности 1, 8, 15, 21, 26, ... Обозначим члены последовательности $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, \dots$.
Найдем отношение второго члена к первому: $q_1 = \frac{b_2}{b_1} = \frac{8}{1} = 8$.
Найдем отношение третьего члена ко второму: $q_2 = \frac{b_3}{b_2} = \frac{15}{8} = 1.875$.
Так как $q_1 \neq q_2$ ($8 \neq \frac{15}{8}$), отношение между соседними членами не является постоянной величиной. Следовательно, данная последовательность не является геометрической прогрессией.
Ответ: нет.

б) Проверим последовательность 4, 2, 1, 0.5, 0.25, ... на соответствие определению геометрической прогрессии. Обозначим члены последовательности $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, \dots$.
Вычислим отношения последовательных членов:
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{4} = 0.5$
$\frac{b_3}{b_2} = \frac{1}{2} = 0.5$
$\frac{b_4}{b_3} = \frac{0.5}{1} = 0.5$
$\frac{b_5}{b_4} = \frac{0.25}{0.5} = 0.5$
Отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно и равно $q=0.5$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 0.5$.
Ответ: да.

в) Проверим последовательность -2, 2, -2, 2, -2, ... . Обозначим члены последовательности $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, \dots$.
Вычислим отношения последовательных членов:
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{-2} = -1$
$\frac{b_3}{b_2} = \frac{-2}{2} = -1$
$\frac{b_4}{b_3} = \frac{2}{-2} = -1$
$\frac{b_5}{b_4} = \frac{-2}{2} = -1$
Отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно и равно $q=-1$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = -1$.
Ответ: да.

г) Проверим последовательность 0, 4, 16, 64, 256, ... .
По определению, в геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на знаменатель прогрессии $q$: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.
Первый член данной последовательности $b_1 = 0$. Если бы эта последовательность была геометрической, то второй член $b_2$ должен был бы быть равен $b_2 = b_1 \cdot q = 0 \cdot q = 0$ при любом значении $q$.
Однако в данной последовательности $b_2 = 4$. Равенство $4 = 0 \cdot q$ не может быть выполнено ни при каком значении $q$. Таким образом, нарушается основное свойство геометрической прогрессии. Кроме того, невозможно найти знаменатель прогрессии путем деления второго члена на первый ($\frac{4}{0}$), так как деление на ноль не определено.
Ответ: нет.