Номер 484, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

484. Доказываем. Докажите, что для любой геометрической прогрессии $\{b_n\}$ верно равенство:

а) $\frac{b_9 + b_{10}}{b_7 + b_9} = \frac{b_{11} + b_{12}}{b_9 + b_{11}}$;

б) $\frac{b_5 + b_6 + b_7}{b_8 + b_9 + b_{10}} = \frac{b_{11} + b_{12} + b_{13}}{b_{14} + b_{15} + b_{16}}$.

а)

Для доказательства равенства $\frac{b_9 + b_{10}}{b_7 + b_9} = \frac{b_{11} + b_{12}}{b_9 + b_{11}}$ воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$, где $q$ - знаменатель прогрессии. Будем считать, что знаменатели в дробях не равны нулю.

Преобразуем левую часть (ЛЧ) равенства. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
ЛЧ = $\frac{b_9 + b_{10}}{b_7 + b_9} = \frac{b_9(1 + q)}{b_7(1 + q^2)}$.
Используя, что $b_9 = b_7 \cdot q^{9-7} = b_7 q^2$, получаем:
ЛЧ = $\frac{b_7 q^2 (1 + q)}{b_7 (1 + q^2)} = \frac{q^2(1+q)}{1+q^2}$.

Аналогично преобразуем правую часть (ПЧ) равенства:
ПЧ = $\frac{b_{11} + b_{12}}{b_9 + b_{11}} = \frac{b_{11}(1 + q)}{b_9(1 + q^2)}$.
Используя, что $b_{11} = b_9 \cdot q^{11-9} = b_9 q^2$, получаем:
ПЧ = $\frac{b_9 q^2 (1 + q)}{b_9 (1 + q^2)} = \frac{q^2(1+q)}{1+q^2}$.

Поскольку ЛЧ = ПЧ, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства равенства $\frac{b_5 + b_6 + b_7}{b_8 + b_9 + b_{10}} = \frac{b_{11} + b_{12} + b_{13}}{b_{14} + b_{15} + b_{16}}$ воспользуемся свойством членов геометрической прогрессии: $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$, где $q$ - знаменатель прогрессии. Будем считать, что знаменатели в дробях не равны нулю.

Рассмотрим левую часть равенства (ЛЧ): $\frac{b_5 + b_6 + b_7}{b_8 + b_9 + b_{10}}$.
Заметим, что каждый член в знаменателе получается из соответствующего члена в числителе умножением на $q^3$, так как разность их индексов равна 3:
$b_8 = b_5 \cdot q^3$, $b_9 = b_6 \cdot q^3$, $b_{10} = b_7 \cdot q^3$.
Вынесем общий множитель $q^3$ в знаменателе:
$b_8 + b_9 + b_{10} = b_5 q^3 + b_6 q^3 + b_7 q^3 = q^3(b_5 + b_6 + b_7)$.
Теперь подставим это выражение в ЛЧ:
ЛЧ = $\frac{b_5 + b_6 + b_7}{q^3(b_5 + b_6 + b_7)} = \frac{1}{q^3}$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства (ПЧ): $\frac{b_{11} + b_{12} + b_{13}}{b_{14} + b_{15} + b_{16}}$.
Здесь также каждый член знаменателя получается из соответствующего члена числителя умножением на $q^3$, так как разность их индексов равна 3:
$b_{14} = b_{11} \cdot q^3$, $b_{15} = b_{12} \cdot q^3$, $b_{16} = b_{13} \cdot q^3$.
Вынесем общий множитель $q^3$ в знаменателе:
$b_{14} + b_{15} + b_{16} = b_{11} q^3 + b_{12} q^3 + b_{13} q^3 = q^3(b_{11} + b_{12} + b_{13})$.
Подставим это выражение в ПЧ:
ПЧ = $\frac{b_{11} + b_{12} + b_{13}}{q^3(b_{11} + b_{12} + b_{13})} = \frac{1}{q^3}$.

Так как ЛЧ = $\frac{1}{q^3}$ и ПЧ = $\frac{1}{q^3}$, то ЛЧ = ПЧ, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.