Номер 489, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

489. По какой формуле вычисляют сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии?

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии, обозначаемая как $S_n$, вычисляется по формулам, которые зависят от знаменателя прогрессии $q$. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел ($b_1, b_2, \dots, b_n$), в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на одно и то же число $q$, называемое знаменателем прогрессии.

Основная формула при знаменателе $q \neq 1$

Если знаменатель прогрессии $q$ не равен единице, то сумма первых $n$ членов вычисляется по формуле:$$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$где $b_1$ — это первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — количество суммируемых членов.
Эту формулу часто записывают и в другом, эквивалентном виде, который удобен при вычислениях, когда $|q| < 1$:$$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$

Формула через первый и $n$-й члены (при $q \neq 1$)

Существует также формула, которая выражает сумму через первый ($b_1$) и последний ($b_n$) члены прогрессии. Зная, что $b_n = b_1q^{n-1}$, основную формулу можно преобразовать к виду:$$S_n = \frac{b_nq - b_1}{q - 1}$$Эта формула удобна, когда известно значение последнего члена, а не их количество.

Формула при знаменателе $q = 1$

Если знаменатель прогрессии равен единице, то все её члены равны первому члену: $b_1 = b_2 = \dots = b_n$. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью, и её сумма равна произведению первого члена на количество членов:$$S_n = n \cdot b_1$$

Ответ: Сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляют по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ в случае, если знаменатель прогрессии $q \neq 1$. Если знаменатель $q = 1$, то сумма вычисляется по формуле $S_n = n \cdot b_1$.