Страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

489. По какой формуле вычисляют сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии?

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии, обозначаемая как $S_n$, вычисляется по формулам, которые зависят от знаменателя прогрессии $q$. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел ($b_1, b_2, \dots, b_n$), в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на одно и то же число $q$, называемое знаменателем прогрессии.

Основная формула при знаменателе $q \neq 1$

Если знаменатель прогрессии $q$ не равен единице, то сумма первых $n$ членов вычисляется по формуле:$$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$где $b_1$ — это первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — количество суммируемых членов.
Эту формулу часто записывают и в другом, эквивалентном виде, который удобен при вычислениях, когда $|q| < 1$:$$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$

Формула через первый и $n$-й члены (при $q \neq 1$)

Существует также формула, которая выражает сумму через первый ($b_1$) и последний ($b_n$) члены прогрессии. Зная, что $b_n = b_1q^{n-1}$, основную формулу можно преобразовать к виду:$$S_n = \frac{b_nq - b_1}{q - 1}$$Эта формула удобна, когда известно значение последнего члена, а не их количество.

Формула при знаменателе $q = 1$

Если знаменатель прогрессии равен единице, то все её члены равны первому члену: $b_1 = b_2 = \dots = b_n$. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью, и её сумма равна произведению первого члена на количество членов:$$S_n = n \cdot b_1$$

Ответ: Сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляют по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ в случае, если знаменатель прогрессии $q \neq 1$. Если знаменатель $q = 1$, то сумма вычисляется по формуле $S_n = n \cdot b_1$.

490. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если:

а) $a_1 = 5, q = 2;$

б) $a_1 = 4, q = -3;$

в) $a_1 = -2, q = \frac{1}{2};$

г) $a_1 = -\frac{1}{3}, q = -2;$

д) $a_2 = -2, a_3 = 8;$

е) $a_3 = 2, a_1 = 1.$

а) Дано: $a_1 = 5$, $q = 2$.

Подставляем значения в формулу суммы первых пяти членов:

$S_5 = \frac{a_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{5(2^5 - 1)}{2 - 1}$

$S_5 = \frac{5(32 - 1)}{1} = 5 \cdot 31 = 155$.

Ответ: 155.

б) Дано: $a_1 = 4$, $q = -3$.

Для удобства вычислений при отрицательном $q$ используем формулу $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$:

$S_5 = \frac{a_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{4(1 - (-3)^5)}{1 - (-3)}$

$S_5 = \frac{4(1 - (-243))}{1 + 3} = \frac{4(1 + 243)}{4} = 244$.

Ответ: 244.

в) Дано: $a_1 = -2$, $q = \frac{1}{2}$.

Подставляем значения в формулу:

$S_5 = \frac{a_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{-2(1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}}$

$S_5 = \frac{-2(1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = -4(1 - \frac{1}{32}) = -4(\frac{31}{32}) = -\frac{31}{8}$.

Ответ: $-\frac{31}{8}$.

г) Дано: $a_1 = -\frac{1}{3}$, $q = -2$.

Подставляем значения в формулу:

$S_5 = \frac{a_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{-\frac{1}{3}(1 - (-2)^5)}{1 - (-2)}$

$S_5 = \frac{-\frac{1}{3}(1 - (-32))}{1 + 2} = \frac{-\frac{1}{3}(33)}{3} = -\frac{11}{3}$.

Ответ: $-\frac{11}{3}$.

д) Дано: $a_2 = -2$, $a_3 = 8$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{8}{-2} = -4$.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя формулу $a_2 = a_1 \cdot q$:

$a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$.

Теперь, зная $a_1$ и $q$, найдем сумму первых пяти членов:

$S_5 = \frac{a_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-4)^5)}{1 - (-4)}$

$S_5 = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-1024))}{1 + 4} = \frac{\frac{1}{2}(1025)}{5} = \frac{1025}{10} = \frac{205}{2}$.

Ответ: $\frac{205}{2}$.

е) Дано: $a_3 = 2$, $a_1 = 1$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$:

$a_3 = a_1 \cdot q^{3-1} \Rightarrow 2 = 1 \cdot q^2 \Rightarrow q^2 = 2$.

Отсюда получаем два возможных значения для $q$: $q = \sqrt{2}$ и $q = -\sqrt{2}$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = \sqrt{2}$.

$S_5 = \frac{a_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{1 \cdot ((\sqrt{2})^5 - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \frac{4\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $(\sqrt{2} + 1)$:

$S_5 = \frac{(4\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{4\cdot2 + 4\sqrt{2} - \sqrt{2} - 1}{2-1} = 7 + 3\sqrt{2}$.

Случай 2: $q = -\sqrt{2}$.

$S_5 = \frac{a_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{1 \cdot (1 - (-\sqrt{2})^5)}{1 - (-\sqrt{2})} = \frac{1 - (-4\sqrt{2})}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1 + 4\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $(\sqrt{2} - 1)$:

$S_5 = \frac{(1 + 4\sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1 + 4\cdot2 - 4\sqrt{2}}{2-1} = 7 - 3\sqrt{2}$.

Ответ: $7 + 3\sqrt{2}$ или $7 - 3\sqrt{2}$.