Страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

485. Верно ли, что геометрическая прогрессия с положительными членами:

а) возрастает и ограничена снизу, если $q > 1$;

б) убывает и ограничена сверху, если $0 < q < 1$?

а) Да, утверждение верно. Пусть дана геометрическая прогрессия $\{b_n\}$ с положительными членами. Это означает, что её первый член $b_1 > 0$ и знаменатель $q > 0$. По условию, $q > 1$. Проверим оба свойства. Во-первых, докажем, что прогрессия возрастает. Последовательность является возрастающей, если $b_{n+1} > b_n$ для всех натуральных $n$. Рассмотрим отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{b_1 q^n}{b_1 q^{n-1}} = q$. Так как по условию $q > 1$ и мы знаем, что $b_n > 0$, из $\frac{b_{n+1}}{b_n} > 1$ следует, что $b_{n+1} > b_n$. Значит, прогрессия является возрастающей. Во-вторых, докажем, что она ограничена снизу. Последовательность ограничена снизу, если существует число $m$, такое что $b_n \ge m$ для всех $n$. Поскольку прогрессия возрастает, её наименьшим членом является первый член $b_1$. Таким образом, для любого $n \ge 1$ выполняется неравенство $b_n \ge b_1$. Это означает, что последовательность ограничена снизу (например, числом $b_1$ или нулём). Так как оба условия выполнены, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б) Да, утверждение верно. Пусть дана геометрическая прогрессия $\{b_n\}$ с положительными членами, то есть $b_1 > 0$ и $q > 0$. По условию, $0 < q < 1$. Проверим оба свойства.Во-первых, докажем, что прогрессия убывает. Последовательность является убывающей, если $b_{n+1} < b_n$ для всех натуральных $n$. Рассмотрим отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Так как по условию $0 < q < 1$ и $b_n > 0$, из $\frac{b_{n+1}}{b_n} < 1$ следует, что $b_{n+1} < b_n$. Значит, прогрессия является убывающей.Во-вторых, докажем, что она ограничена сверху. Последовательность ограничена сверху, если существует число $M$, такое что $b_n \le M$ для всех $n$. Поскольку прогрессия убывает, её наибольшим членом является первый член $b_1$. Таким образом, для любого $n \ge 1$ выполняется неравенство $b_n \le b_1$. Это означает, что последовательность ограничена сверху числом $b_1$. Так как оба условия выполнены, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

486. Определите, возрастает или убывает геометрическая прогрессия ${a_n}$:

а) если $a_1 < 0, q > 1$;

б) если $a_1 < 0, 0 < q < 1$.

Является ли она ограниченной?

Для анализа геометрической прогрессии $\{a_n\}$ с первым членом $a_1$ и знаменателем $q$ воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

Последовательность называется возрастающей, если каждый следующий ее член больше предыдущего, то есть $a_{n+1} > a_n$ для всех $n \ge 1$.

Последовательность называется убывающей, если каждый следующий ее член меньше предыдущего, то есть $a_{n+1} < a_n$ для всех $n \ge 1$.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что $|a_n| \le M$ для всех $n \ge 1$. Это равносильно тому, что последовательность ограничена и сверху, и снизу.

а) если $a_1 < 0$, $q > 1$
Рассмотрим разность между последующим и предыдущим членами прогрессии: $a_{n+1} - a_n = a_1 q^n - a_1 q^{n-1} = a_1 q^{n-1}(q - 1)$.
Проанализируем знак этого выражения по условиям задачи:

• $a_1 < 0$ (отрицательное число).
• Поскольку $q > 1$, то $q^{n-1} > 0$ для любого $n \ge 1$ (положительное число).
• Поскольку $q > 1$, то $q-1 > 0$ (положительное число).

Произведение отрицательного числа на два положительных будет отрицательным: $a_1 q^{n-1}(q - 1) < 0$. Следовательно, $a_{n+1} - a_n < 0$, что означает $a_{n+1} < a_n$. Прогрессия является убывающей.
Теперь определим, является ли она ограниченной. Так как $a_1 < 0$ и $q > 1$, то с каждым шагом модуль члена прогрессии будет увеличиваться, а сам член, будучи отрицательным, будет уменьшаться. Например, если $a_1 = -2$ и $q = 3$, то последовательность будет: $-2, -6, -18, -54, \dots$. Предел этой последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_1 q^{n-1} = -\infty$, так как $a_1 < 0$ и $q^{n-1} \to \infty$. Последовательность ограничена сверху (например, числом $a_1$), но не ограничена снизу. Следовательно, она не является ограниченной.
Ответ: прогрессия убывает; она не является ограниченной.

б) если $a_1 < 0$, $0 < q < 1$
Снова рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n = a_1 q^{n-1}(q - 1)$.
Проанализируем знак этого выражения по условиям задачи:

• $a_1 < 0$ (отрицательное число).
• Поскольку $0 < q < 1$, то $q^{n-1} > 0$ для любого $n \ge 1$ (положительное число).
• Поскольку $0 < q < 1$, то $q-1 < 0$ (отрицательное число).

Произведение отрицательного числа, положительного и еще одного отрицательного будет положительным: $a_1 q^{n-1}(q - 1) > 0$. Следовательно, $a_{n+1} - a_n > 0$, что означает $a_{n+1} > a_n$. Прогрессия является возрастающей.
Теперь определим, является ли она ограниченной. Так как $a_1 < 0$ и $0 < q < 1$, то все члены прогрессии будут отрицательными. Например, если $a_1 = -16$ и $q = 1/2$, то последовательность будет: $-16, -8, -4, -2, \dots$. Поскольку прогрессия возрастает, ее первый член $a_1$ будет наименьшим. Значит, последовательность ограничена снизу числом $a_1$. Найдем предел последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_1 q^{n-1} = 0$, так как $a_1$ — константа, а $q^{n-1} \to 0$ при $0 < q < 1$. Так как последовательность возрастает и стремится к 0, она ограничена сверху числом 0. Поскольку последовательность ограничена и снизу, и сверху, она является ограниченной.
Ответ: прогрессия возрастает; она является ограниченной.

487. Задачи И. Ньютона (1643—1727).

а) Даны четыре последовательных члена геометрической прогрессии. Сумма двух крайних членов равна 13, двух средних равна 4. Определите эти члены.

б) Даны три последовательных члена геометрической прогрессии. Их сумма равна 19, а сумма их квадратов равна 133. Определите эти члены.

а)

Обозначим четыре последовательных члена геометрической прогрессии как $b_1, b_2, b_3, b_4$. Пусть первый член $b_1 = b$, а знаменатель прогрессии равен $q$. Тогда члены прогрессии можно записать в виде: $b, bq, bq^2, bq^3$.

Согласно условиям задачи, составим систему уравнений:

1. Сумма двух крайних членов равна 13: $b_1 + b_4 = b + bq^3 = b(1 + q^3) = 13$.

2. Сумма двух средних членов равна 4: $b_2 + b_3 = bq + bq^2 = bq(1 + q) = 4$.

Получаем систему:

$\begin{cases} b(1 + q^3) = 13 \\ bq(1 + q) = 4 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе (поскольку $b \ne 0$ и $q \ne 0, -1$):

$\frac{b(1 + q^3)}{bq(1 + q)} = \frac{13}{4}$

Используем формулу суммы кубов $1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2)$:

$\frac{(1 + q)(1 - q + q^2)}{q(1 + q)} = \frac{13}{4}$

Сокращаем $(1 + q)$:

$\frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{13}{4}$

Решим это уравнение относительно $q$:

$4(1 - q + q^2) = 13q$

$4 - 4q + 4q^2 = 13q$

$4q^2 - 17q + 4 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$

$q = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 \pm 15}{8}$

Получаем два возможных значения для $q$:

$q_1 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$q_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Теперь найдем соответствующее значение $b$ для каждого $q$, используя уравнение $bq(1 + q) = 4$.

Случай 1: $q = 4$

$b \cdot 4(1 + 4) = 4 \Rightarrow 20b = 4 \Rightarrow b = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Члены прогрессии: $b_1 = \frac{1}{5}$, $b_2 = \frac{1}{5} \cdot 4 = \frac{4}{5}$, $b_3 = \frac{4}{5} \cdot 4 = \frac{16}{5}$, $b_4 = \frac{16}{5} \cdot 4 = \frac{64}{5}$.

Проверка: $b_1 + b_4 = \frac{1}{5} + \frac{64}{5} = \frac{65}{5} = 13$; $b_2 + b_3 = \frac{4}{5} + \frac{16}{5} = \frac{20}{5} = 4$. Условия выполняются.

Случай 2: $q = \frac{1}{4}$

$b \cdot \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{4}) = 4 \Rightarrow b \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4} = 4 \Rightarrow \frac{5b}{16} = 4 \Rightarrow b = \frac{64}{5}$.

Члены прогрессии: $b_1 = \frac{64}{5}$, $b_2 = \frac{64}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{16}{5}$, $b_3 = \frac{16}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{5}$, $b_4 = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$.

Проверка: $b_1 + b_4 = \frac{64}{5} + \frac{1}{5} = \frac{65}{5} = 13$; $b_2 + b_3 = \frac{16}{5} + \frac{4}{5} = \frac{20}{5} = 4$. Условия выполняются.

Ответ: Существуют два набора таких членов: $\frac{1}{5}, \frac{4}{5}, \frac{16}{5}, \frac{64}{5}$ или $\frac{64}{5}, \frac{16}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{5}$.

б)

Обозначим три последовательных члена геометрической прогрессии как $b_1, b_2, b_3$.

Из условий задачи имеем систему уравнений:

$\begin{cases} b_1 + b_2 + b_3 = 19 \\ b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 133 \end{cases}$

Для любой геометрической прогрессии выполняется свойство: $b_2^2 = b_1 b_3$.

Из первого уравнения выразим сумму крайних членов: $b_1 + b_3 = 19 - b_2$.

Возведем это выражение в квадрат:

$(b_1 + b_3)^2 = (19 - b_2)^2$

$b_1^2 + 2b_1 b_3 + b_3^2 = 361 - 38b_2 + b_2^2$

Теперь подставим в это уравнение известные нам величины. Из второго уравнения системы $b_1^2 + b_3^2 = 133 - b_2^2$, а из свойства прогрессии $b_1 b_3 = b_2^2$.

$(133 - b_2^2) + 2(b_2^2) = 361 - 38b_2 + b_2^2$

$133 + b_2^2 = 361 - 38b_2 + b_2^2$

Сокращаем $b_2^2$ с обеих сторон:

$133 = 361 - 38b_2$

$38b_2 = 361 - 133$

$38b_2 = 228$

$b_2 = \frac{228}{38} = 6$

Итак, средний член прогрессии равен 6. Теперь найдем $b_1$ и $b_3$.

Мы знаем, что:

$b_1 + b_3 = 19 - b_2 = 19 - 6 = 13$

$b_1 b_3 = b_2^2 = 6^2 = 36$

Члены $b_1$ и $b_3$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (b_1 + b_3)t + b_1 b_3 = 0$ (по теореме Виета).

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Это уравнение легко решается разложением на множители:

$(t - 4)(t - 9) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Следовательно, $\{b_1, b_3\} = \{4, 9\}$.

Таким образом, возможны две последовательности:

1. $b_1=4, b_2=6, b_3=9$.

2. $b_1=9, b_2=6, b_3=4$.

Проверим: сумма членов $4+6+9=19$. Сумма квадратов $4^2+6^2+9^2 = 16+36+81=133$. Условия выполняются.

Ответ: Искомые члены прогрессии — это 4, 6, 9 или 9, 6, 4.

488. В начале месяца вкладчик положил на счёт в банке $a$ р. при условии, что в конце каждого месяца на его счёт будет начисляться $p\%$ от той суммы вклада, которая будет находиться на его счёте в начале этого месяца. Вкладчик не снимал деньги со счёта $n$ месяцев, а в начале $(n + 1)$-го месяца снял со счёта все деньги в сумме $b$ р.

а) Какую сумму вкладчик снял со счёта, если $a = 600\,000$, $p = 1$, $n = 2$?

б) Какую сумму вкладчик положил на счёт, если $b = 530\,604$, $p = 2$, $n = 3$?

в) Покажите, как ответ к каждой из задач а) и б) можно получить с помощью формулы общего члена геометрической прогрессии.

а) По условию, начальная сумма вклада $a = 600\,000$ рублей, процентная ставка $p = 1\%$ в месяц, и срок вклада $n = 2$ месяца. Нужно найти итоговую сумму $b$.
Каждый месяц сумма на счете увеличивается на 1%, то есть умножается на коэффициент $1 + \frac{1}{100} = 1.01$.
Сумма на счете после начисления процентов за 1-й месяц (в начале 2-го месяца) составляет:
$S_1 = 600\,000 \cdot 1.01 = 606\,000$ р.
Сумма на счете после начисления процентов за 2-й месяц (в начале 3-го месяца) составляет:
$S_2 = 606\,000 \cdot 1.01 = 612\,060$ р.
Вкладчик не снимал деньги 2 месяца, а в начале 3-го месяца снял всю сумму. Эта сумма и есть $S_2$.
Ответ: 612 060 р.

б) По условию, итоговая сумма $b = 530\,604$ рубля, процентная ставка $p = 2\%$ в месяц, и срок вклада $n = 3$ месяца. Нужно найти начальную сумму $a$.
Каждый месяц сумма на счете увеличивалась на 2%, то есть умножалась на коэффициент $1 + \frac{2}{100} = 1.02$.
Пусть $a$ — начальная сумма. Через 3 месяца она стала равной $b$. Это означает, что начальная сумма была последовательно умножена на 1.02 три раза:
$a \cdot (1.02)^3 = b$
$a \cdot (1.02)^3 = 530\,604$
Вычислим $(1.02)^3$: $(1.02)^3 = 1.02 \cdot 1.02 \cdot 1.02 = 1.0404 \cdot 1.02 = 1.061208$.
Теперь найдем $a$, разделив итоговую сумму на полученный коэффициент:
$a = \frac{530\,604}{1.061208} = 500\,000$ р.
Ответ: 500 000 р.

в) Сумма на счете в начале каждого месяца образует геометрическую прогрессию. Обозначим эту последовательность как $c_k$, где $c_k$ — это сумма на счете в начале k-го месяца.
Первый член прогрессии $c_1$ — это начальная сумма вклада $a$.
Каждый месяц сумма увеличивается в $\left(1 + \frac{p}{100}\right)$ раз. Это и есть знаменатель геометрической прогрессии $q$.
$q = 1 + \frac{p}{100}$.
Сумма на счете в начале k-го месяца находится по формуле общего члена геометрической прогрессии: $c_k = c_1 \cdot q^{k-1}$.
Деньги снимаются в начале (n+1)-го месяца, то есть снятая сумма $b$ равна $(n+1)$-му члену прогрессии, $c_{n+1}$.
$b = c_{n+1} = c_1 \cdot q^{(n+1)-1} = c_1 \cdot q^n$.
Подставив $c_1 = a$ и $q = 1 + \frac{p}{100}$, мы получаем формулу, связывающую начальную и конечную суммы: $b = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$.
Применение к задаче а):
Дано: $a = 600\,000, p=1, n=2$.
Первый член прогрессии $c_1 = a = 600\,000$. Знаменатель $q = 1 + \frac{1}{100} = 1.01$.
Искомая сумма $b$ — это член прогрессии $c_{n+1} = c_{2+1} = c_3$.
$b = c_3 = c_1 \cdot q^{2} = 600\,000 \cdot (1.01)^2 = 612\,060$ р.
Применение к задаче б):
Дано: $b = 530\,604, p=2, n=3$.
Знаменатель прогрессии $q = 1 + \frac{2}{100} = 1.02$.
Конечная сумма $b=c_{n+1} = c_{3+1} = c_4 = 530\,604$. Искомая сумма $a$ — это первый член $c_1$.
Из формулы $c_4 = c_1 \cdot q^3$ находим $c_1$:
$a = c_1 = \frac{c_4}{q^3} = \frac{530\,604}{(1.02)^3} = \frac{530\,604}{1.061208} = 500\,000$ р.
Таким образом, было показано, как ответы к задачам а) и б) получаются с помощью формулы общего члена геометрической прогрессии.
Ответ: Суммы на счете в начале каждого месяца образуют геометрическую прогрессию $c_k$ с первым членом $c_1=a$ и знаменателем $q=1+\frac{p}{100}$. Итоговая сумма $b$ является $(n+1)$-м членом этой прогрессии: $b=c_{n+1}=a \cdot q^n$. Применение этой формулы к условиям задач а) и б) дает ответы 612 060 р. и 500 000 р. соответственно.