Номер 487, страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

487. Задачи И. Ньютона (1643—1727).

а) Даны четыре последовательных члена геометрической прогрессии. Сумма двух крайних членов равна 13, двух средних равна 4. Определите эти члены.

б) Даны три последовательных члена геометрической прогрессии. Их сумма равна 19, а сумма их квадратов равна 133. Определите эти члены.

а)

Обозначим четыре последовательных члена геометрической прогрессии как $b_1, b_2, b_3, b_4$. Пусть первый член $b_1 = b$, а знаменатель прогрессии равен $q$. Тогда члены прогрессии можно записать в виде: $b, bq, bq^2, bq^3$.

Согласно условиям задачи, составим систему уравнений:

1. Сумма двух крайних членов равна 13: $b_1 + b_4 = b + bq^3 = b(1 + q^3) = 13$.

2. Сумма двух средних членов равна 4: $b_2 + b_3 = bq + bq^2 = bq(1 + q) = 4$.

Получаем систему:

$\begin{cases} b(1 + q^3) = 13 \\ bq(1 + q) = 4 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе (поскольку $b \ne 0$ и $q \ne 0, -1$):

$\frac{b(1 + q^3)}{bq(1 + q)} = \frac{13}{4}$

Используем формулу суммы кубов $1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2)$:

$\frac{(1 + q)(1 - q + q^2)}{q(1 + q)} = \frac{13}{4}$

Сокращаем $(1 + q)$:

$\frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{13}{4}$

Решим это уравнение относительно $q$:

$4(1 - q + q^2) = 13q$

$4 - 4q + 4q^2 = 13q$

$4q^2 - 17q + 4 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$

$q = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 \pm 15}{8}$

Получаем два возможных значения для $q$:

$q_1 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$q_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Теперь найдем соответствующее значение $b$ для каждого $q$, используя уравнение $bq(1 + q) = 4$.

Случай 1: $q = 4$

$b \cdot 4(1 + 4) = 4 \Rightarrow 20b = 4 \Rightarrow b = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Члены прогрессии: $b_1 = \frac{1}{5}$, $b_2 = \frac{1}{5} \cdot 4 = \frac{4}{5}$, $b_3 = \frac{4}{5} \cdot 4 = \frac{16}{5}$, $b_4 = \frac{16}{5} \cdot 4 = \frac{64}{5}$.

Проверка: $b_1 + b_4 = \frac{1}{5} + \frac{64}{5} = \frac{65}{5} = 13$; $b_2 + b_3 = \frac{4}{5} + \frac{16}{5} = \frac{20}{5} = 4$. Условия выполняются.

Случай 2: $q = \frac{1}{4}$

$b \cdot \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{4}) = 4 \Rightarrow b \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4} = 4 \Rightarrow \frac{5b}{16} = 4 \Rightarrow b = \frac{64}{5}$.

Члены прогрессии: $b_1 = \frac{64}{5}$, $b_2 = \frac{64}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{16}{5}$, $b_3 = \frac{16}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{5}$, $b_4 = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$.

Проверка: $b_1 + b_4 = \frac{64}{5} + \frac{1}{5} = \frac{65}{5} = 13$; $b_2 + b_3 = \frac{16}{5} + \frac{4}{5} = \frac{20}{5} = 4$. Условия выполняются.

Ответ: Существуют два набора таких членов: $\frac{1}{5}, \frac{4}{5}, \frac{16}{5}, \frac{64}{5}$ или $\frac{64}{5}, \frac{16}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{5}$.

б)

Обозначим три последовательных члена геометрической прогрессии как $b_1, b_2, b_3$.

Из условий задачи имеем систему уравнений:

$\begin{cases} b_1 + b_2 + b_3 = 19 \\ b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 133 \end{cases}$

Для любой геометрической прогрессии выполняется свойство: $b_2^2 = b_1 b_3$.

Из первого уравнения выразим сумму крайних членов: $b_1 + b_3 = 19 - b_2$.

Возведем это выражение в квадрат:

$(b_1 + b_3)^2 = (19 - b_2)^2$

$b_1^2 + 2b_1 b_3 + b_3^2 = 361 - 38b_2 + b_2^2$

Теперь подставим в это уравнение известные нам величины. Из второго уравнения системы $b_1^2 + b_3^2 = 133 - b_2^2$, а из свойства прогрессии $b_1 b_3 = b_2^2$.

$(133 - b_2^2) + 2(b_2^2) = 361 - 38b_2 + b_2^2$

$133 + b_2^2 = 361 - 38b_2 + b_2^2$

Сокращаем $b_2^2$ с обеих сторон:

$133 = 361 - 38b_2$

$38b_2 = 361 - 133$

$38b_2 = 228$

$b_2 = \frac{228}{38} = 6$

Итак, средний член прогрессии равен 6. Теперь найдем $b_1$ и $b_3$.

Мы знаем, что:

$b_1 + b_3 = 19 - b_2 = 19 - 6 = 13$

$b_1 b_3 = b_2^2 = 6^2 = 36$

Члены $b_1$ и $b_3$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (b_1 + b_3)t + b_1 b_3 = 0$ (по теореме Виета).

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Это уравнение легко решается разложением на множители:

$(t - 4)(t - 9) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Следовательно, $\{b_1, b_3\} = \{4, 9\}$.

Таким образом, возможны две последовательности:

1. $b_1=4, b_2=6, b_3=9$.

2. $b_1=9, b_2=6, b_3=4$.

Проверим: сумма членов $4+6+9=19$. Сумма квадратов $4^2+6^2+9^2 = 16+36+81=133$. Условия выполняются.

Ответ: Искомые члены прогрессии — это 4, 6, 9 или 9, 6, 4.