Страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

497. a) Какую геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей?

б) Придумайте пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая не является убывающей последовательностью.

а) Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют геометрическую прогрессию $(b_n)$, знаменатель $q$ которой удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Это означает, что знаменатель прогрессии по модулю (по абсолютной величине) должен быть меньше единицы. Главной особенностью таких прогрессий является то, что сумма их бесконечного числа членов сходится к конечному значению, которое можно вычислить по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии. Сами члены такой прогрессии по абсолютной величине неограниченно приближаются к нулю с ростом их номера $n$.

Ответ: Бесконечно убывающей называют геометрическую прогрессию, у которой модуль знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

б) Чтобы найти пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая не является убывающей последовательностью, нужно выбрать знаменатель $q$ так, чтобы выполнялось условие $|q| < 1$, но при этом последовательность не была монотонно убывающей (то есть чтобы не для всех $n$ выполнялось неравенство $b_{n+1} < b_n$).

Такая ситуация возникает, если выбрать отрицательный знаменатель $q$ из интервала $(-1, 0)$. В этом случае знаки членов прогрессии будут чередоваться, и последовательность будет колебаться, а не монотонно убывать или возрастать.

Рассмотрим в качестве примера геометрическую прогрессию, у которой первый член $b_1 = 10$, а знаменатель $q = -\frac{1}{2}$.

Эта прогрессия является бесконечно убывающей, так как ее знаменатель удовлетворяет условию $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$.

Выпишем несколько первых членов этой прогрессии: $b_1 = 10$; $b_2 = 10 \cdot (-\frac{1}{2}) = -5$; $b_3 = -5 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2.5$; $b_4 = 2.5 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1.25$ и так далее. Мы получили последовательность: $10, -5, 2.5, -1.25, \dots$

Эта последовательность не является убывающей. Убывающая последовательность требует, чтобы каждый следующий член был строго меньше предыдущего. В нашем примере второй член меньше первого ($b_2 < b_1$, так как $-5 < 10$), но третий член больше второго ($b_3 > b_2$, так как $2.5 > -5$). Поскольку условие $b_{n+1} < b_n$ выполняется не для всех $n$, данная последовательность не является убывающей.

Ответ: Примером может служить прогрессия с первым членом $b_1=10$ и знаменателем $q = -0.5$, то есть последовательность $10, -5, 2.5, -1.25, \ldots$

498. Вычислите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии ${a_n}$, если:

а) $a_1 = 4, q = \frac{1}{2}$;

б) $a_1 = 4, q = -\frac{1}{2}$;

в) $a_1 = 5, q = \frac{1}{10}$;

г) $a_1 = 5, q = -\frac{1}{10}$.

Для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{a_1}{1 - q}$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Для всех заданных случаев это условие выполняется.

а)

Дано: первый член прогрессии $a_1 = 4$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

Так как $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Применим формулу суммы:

$S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8.

б)

Дано: первый член прогрессии $a_1 = 4$ и знаменатель $q = -\frac{1}{2}$.

Так как $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Применим формулу суммы:

$S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{4}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{4}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

в)

Дано: первый член прогрессии $a_1 = 5$ и знаменатель $q = \frac{1}{10}$.

Так как $|q| = |\frac{1}{10}| = \frac{1}{10} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Применим формулу суммы:

$S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{5}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{5}{\frac{10}{10} - \frac{1}{10}} = \frac{5}{\frac{9}{10}} = 5 \cdot \frac{10}{9} = \frac{50}{9}$.

Ответ: $\frac{50}{9}$.

г)

Дано: первый член прогрессии $a_1 = 5$ и знаменатель $q = -\frac{1}{10}$.

Так как $|q| = |-\frac{1}{10}| = \frac{1}{10} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Применим формулу суммы:

$S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{5}{1 - (-\frac{1}{10})} = \frac{5}{1 + \frac{1}{10}} = \frac{5}{\frac{11}{10}} = 5 \cdot \frac{10}{11} = \frac{50}{11}$.

Ответ: $\frac{50}{11}$.

499. Обратите в обыкновенную дробь бесконечную периодическую десятичную дробь:

а) $0.\overline{3}$; б) $0.\overline{8}$; в) $0.\overline{5}$;

г) $0.\overline{13}$; д) $0.\overline{27}$; е) $0.\overline{45}$;

ж) $0.\overline{123}$; з) $0.\overline{456}$; и) $0.\overline{1999}$;

к) $0.5\overline{7}$; л) $0.23\overline{8}$; м) $0.2\overline{38}$.

а) 0,(3)

Пусть $x = 0,(3)$. Это означает $x = 0,333...$
Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:
$10x = 3,333...$
Теперь вычтем исходное уравнение из полученного:
$10x - x = 3,333... - 0,333...$
$9x = 3$
Решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{3}{9}$
Сократим дробь:
$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) 0,(8)

Пусть $x = 0,(8) = 0,888...$
Умножим на 10: $10x = 8,888...$
Вычтем $x$ из $10x$:
$10x - x = 8,888... - 0,888...$
$9x = 8$
$x = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

в) 0,(5)

Пусть $x = 0,(5) = 0,555...$
Умножим на 10: $10x = 5,555...$
Вычтем $x$ из $10x$:
$10x - x = 5,555... - 0,555...$
$9x = 5$
$x = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

г) 0,(13)

Пусть $x = 0,(13) = 0,131313...$
В периоде две цифры, поэтому умножим на 100:
$100x = 13,131313...$
Вычтем $x$ из $100x$:
$100x - x = 13,1313... - 0,1313...$
$99x = 13$
$x = \frac{13}{99}$

Ответ: $\frac{13}{99}$

д) 0,(27)

Пусть $x = 0,(27) = 0,272727...$
Умножим на 100: $100x = 27,2727...$
Вычтем $x$ из $100x$:
$100x - x = 27,2727... - 0,2727...$
$99x = 27$
$x = \frac{27}{99}$
Сократим дробь на 9:
$x = \frac{27 \div 9}{99 \div 9} = \frac{3}{11}$

Ответ: $\frac{3}{11}$

е) 0,(45)

Пусть $x = 0,(45) = 0,454545...$
Умножим на 100: $100x = 45,4545...$
Вычтем $x$ из $100x$:
$100x - x = 45,4545... - 0,4545...$
$99x = 45$
$x = \frac{45}{99}$
Сократим дробь на 9:
$x = \frac{45 \div 9}{99 \div 9} = \frac{5}{11}$

Ответ: $\frac{5}{11}$

ж) 0,(123)

Пусть $x = 0,(123) = 0,123123...$
В периоде три цифры, умножим на 1000:
$1000x = 123,123123...$
Вычтем $x$ из $1000x$:
$1000x - x = 123,123... - 0,123...$
$999x = 123$
$x = \frac{123}{999}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{123 \div 3}{999 \div 3} = \frac{41}{333}$

Ответ: $\frac{41}{333}$

з) 0,(456)

Пусть $x = 0,(456) = 0,456456...$
Умножим на 1000: $1000x = 456,456456...$
Вычтем $x$ из $1000x$:
$1000x - x = 456,456... - 0,456...$
$999x = 456$
$x = \frac{456}{999}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{456 \div 3}{999 \div 3} = \frac{152}{333}$

Ответ: $\frac{152}{333}$

и) 0,(1999)

Пусть $x = 0,(1999) = 0,19991999...$
В периоде четыре цифры, умножим на 10000:
$10000x = 1999,1999...$
Вычтем $x$ из $10000x$:
$10000x - x = 1999,1999... - 0,1999...$
$9999x = 1999$
$x = \frac{1999}{9999}$

Ответ: $\frac{1999}{9999}$

к) 0,5(7)

Пусть $x = 0,5(7) = 0,5777...$
Умножим на 10, чтобы часть до периода оказалась слева от запятой:
$10x = 5,777...$
Умножим на 100, чтобы сдвинуть один период влево:
$100x = 57,777...$
Вычтем первое уравнение из второго:
$100x - 10x = 57,777... - 5,777...$
$90x = 52$
$x = \frac{52}{90}$
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{26}{45}$

Ответ: $\frac{26}{45}$

л) 0,23(8)

Пусть $x = 0,23(8) = 0,23888...$
Умножим на 100, чтобы непериодическая часть (23) оказалась слева от запятой:
$100x = 23,888...$
Умножим на 1000, чтобы сдвинуть один период (8) влево:
$1000x = 238,888...$
Вычтем первое уравнение из второго:
$1000x - 100x = 238,888... - 23,888...$
$900x = 215$
$x = \frac{215}{900}$
Сократим дробь на 5:
$x = \frac{215 \div 5}{900 \div 5} = \frac{43}{180}$

Ответ: $\frac{43}{180}$

м) 0,2(38)

Пусть $x = 0,2(38) = 0,2383838...$
Умножим на 10: $10x = 2,3838...$
Период состоит из двух цифр, поэтому умножим $10x$ на 100 (или исходное $x$ на 1000):
$1000x = 238,3838...$
Вычтем первое уравнение из второго:
$1000x - 10x = 238,3838... - 2,3838...$
$990x = 236$
$x = \frac{236}{990}$
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{236 \div 2}{990 \div 2} = \frac{118}{495}$

Ответ: $\frac{118}{495}$

500. Доказываем. Задача П. Ферма (1601–1665). Докажите, что для бесконечно убывающей геометрической прогрессии $\{a_n\}$, имеющей сумму S, выполняется равенство

$ \frac{S}{S-a_1} = \frac{a_1}{a_2} $.

Пусть дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $\{a_n\}$ с первым членом $a_1$ и знаменателем $q$. Условие того, что прогрессия является бесконечно убывающей, означает, что $|q| < 1$.

Сумма $S$ такой прогрессии вычисляется по известной формуле: $$ S = \frac{a_1}{1 - q} $$ Для существования суммы необходимо, чтобы $a_1 \neq 0$ и $q \neq 1$. Также из условия задачи следует, что $a_2 \neq 0$, а значит $q \neq 0$.

Наша задача — доказать равенство: $$ \frac{S}{S - a_1} = \frac{a_1}{a_2} $$ Для этого преобразуем левую часть равенства, подставив в нее формулу для суммы $S$.

Сначала рассмотрим выражение в знаменателе левой части, $S - a_1$: $$ S - a_1 = \frac{a_1}{1 - q} - a_1 $$ Приводя к общему знаменателю, получаем: $$ S - a_1 = \frac{a_1 - a_1(1 - q)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_1 + a_1q}{1 - q} = \frac{a_1q}{1 - q} $$

Теперь подставим выражения для $S$ и $S - a_1$ в левую часть доказываемого равенства: $$ \frac{S}{S - a_1} = \frac{\frac{a_1}{1 - q}}{\frac{a_1q}{1 - q}} $$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую: $$ \frac{a_1}{1 - q} \cdot \frac{1 - q}{a_1q} $$ Сокращаем одинаковые множители $(1 - q)$ в числителе и знаменателе, а также $a_1$ (так как $a_1 \neq 0$): $$ \frac{S}{S - a_1} = \frac{1}{q} $$

Теперь рассмотрим правую часть равенства, $\frac{a_1}{a_2}$.

По определению геометрической прогрессии, ее второй член $a_2$ равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии: $a_2 = a_1q$. Подставим это в правую часть: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{a_1}{a_1q} $$ Сократив $a_1$, получаем: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{q} $$

Мы получили, что и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению $\frac{1}{q}$. Следовательно, равенство верно. $$ \frac{S}{S - a_1} = \frac{1}{q} \quad \text{и} \quad \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{q} \implies \frac{S}{S - a_1} = \frac{a_1}{a_2} $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\frac{S}{S - a_1} = \frac{a_1}{a_2}$ доказано путем преобразования обеих его частей к одному и тому же виду $\frac{1}{q}$.

501. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

a) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$; 1; $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$; ...

б) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$; 1; $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$; ...

а) Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель (при условии, что $|q| < 1$).

В данной прогрессии первый член $b_1 = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$. Упростим это выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$b_1 = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый ($q = b_2 / b_1$):
$q = \frac{1}{b_1} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$.
Упростим выражение для $q$:
$q = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.

Проверим, является ли прогрессия бесконечно убывающей. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие $|q| < 1$.
Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $q = 2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.732 = 0.268$.
Поскольку $0 < q < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется.

Теперь можем вычислить сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1 - (2 - \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1 - 2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе полученного выражения:
$S = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{2\sqrt{3} + 2 + 3 + \sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{5 + 3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{5 + 3\sqrt{3}}{2}$.

б) Решим этот пункт аналогично предыдущему. Сначала найдем и упростим первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 + 2\sqrt{2}$.

Теперь находим знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$.
Упростим $q$:
$q = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 - 2\sqrt{2}$.

Проверим условие $|q| < 1$.
Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $2\sqrt{2} \approx 2.828$.
$q = 3 - 2\sqrt{2} \approx 3 - 2.828 = 0.172$.
Поскольку $0 < q < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется.

Вычисляем сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$:
$S = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1 - (3 - 2\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1 - 3 + 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2(\sqrt{2} - 1)}$.

Упростим итоговое выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$S = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2(\sqrt{2} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(3 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{2((\sqrt{2})^2 - 1^2)} = \frac{3\sqrt{2} + 3 + 2 \cdot 2 + 2\sqrt{2}}{2(2 - 1)} = \frac{5\sqrt{2} + 7}{2}$.

Ответ: $\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}$.

$\sqrt{2} - 1$, $\sqrt{2} + 1$

502. Дан острый угол, величина которого равна $\alpha$. На его стороне на расстоянии $l$ от вершины отметили точку $A_1$. Из неё провели перпендикуляр $A_1A_2$ ко второй стороне угла, из точки $A_2$ провели перпендикуляр $A_2A_3$ к первой стороне и т. д. (рис. 61). Получилась ломаная с бесконечным числом звеньев. Вычислите её длину, если:

a) $l = 1 \text{ м}$, $\alpha = 45^\circ$;

б) $l = 1 \text{ м}$, $\alpha = 30^\circ$.

Рис. 61

Длина ломаной представляет собой сумму длин её звеньев $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, \dots$. Найдём длины этих звеньев, чтобы определить закономерность.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA_1A_2$ (с прямым углом при вершине $A_2$). По условию, гипотенуза $AA_1 = l$, а угол $\angle A_1AA_2 = \alpha$.

Длина первого звена $A_1A_2$ (катета, противолежащего углу $\alpha$) равна: $|A_1A_2| = |AA_1| \sin \alpha = l \sin \alpha$.

Длина катета $AA_2$ (прилежащего к углу $\alpha$) равна: $|AA_2| = |AA_1| \cos \alpha = l \cos \alpha$.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA_2A_3$ (с прямым углом при $A_3$). Его гипотенузой является отрезок $AA_2$, длина которого $|AA_2| = l \cos \alpha$. Угол $\angle A_2AA_3$ также равен $\alpha$.

Длина второго звена $A_2A_3$ равна: $|A_2A_3| = |AA_2| \sin \alpha = (l \cos \alpha) \sin \alpha = l \sin \alpha \cos \alpha$.

Длина катета $AA_3$ равна: $|AA_3| = |AA_2| \cos \alpha = (l \cos \alpha) \cos \alpha = l \cos^2 \alpha$.

Продолжая этот процесс, для третьего звена $A_3A_4$ из $\triangle AA_3A_4$ (гипотенуза $AA_3$) получим:

$|A_3A_4| = |AA_3| \sin \alpha = (l \cos^2 \alpha) \sin \alpha = l \sin \alpha \cos^2 \alpha$.

Таким образом, длины звеньев ломаной ($|A_1A_2|, |A_2A_3|, |A_3A_4|, \dots$) образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $b_1 = l \sin \alpha$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{|A_2A_3|}{|A_1A_2|} = \frac{l \sin \alpha \cos \alpha}{l \sin \alpha} = \cos \alpha$.

Так как по условию угол $\alpha$ острый, то $0 < \alpha < 90^\circ$, и следовательно, $0 < \cos \alpha < 1$. Это означает, что $|q| < 1$, и сумма данной геометрической прогрессии существует.

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. В нашем случае, искомая длина ломаной $L$ равна этой сумме:

$L = \frac{l \sin \alpha}{1 - \cos \alpha}$

Теперь вычислим длину ломаной для заданных значений.

а) При $l=1$ м и $\alpha = 45^\circ$ имеем:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем эти значения в полученную формулу:

$L = \frac{1 \cdot \sin 45^\circ}{1 - \cos 45^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2+\sqrt{2})$:

$L = \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2} = \sqrt{2} + 1$ м.

Ответ: $(\sqrt{2} + 1)$ м.

б) При $l=1$ м и $\alpha = 30^\circ$ имеем:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем эти значения в формулу:

$L = \frac{1 \cdot \sin 30^\circ}{1 - \cos 30^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2-\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2+\sqrt{3})$:

$L = \frac{1(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{2+\sqrt{3}}{1} = 2 + \sqrt{3}$ м.

Ответ: $(2 + \sqrt{3})$ м.