Номер 499, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

499. Обратите в обыкновенную дробь бесконечную периодическую десятичную дробь:

а) $0.\overline{3}$; б) $0.\overline{8}$; в) $0.\overline{5}$;

г) $0.\overline{13}$; д) $0.\overline{27}$; е) $0.\overline{45}$;

ж) $0.\overline{123}$; з) $0.\overline{456}$; и) $0.\overline{1999}$;

к) $0.5\overline{7}$; л) $0.23\overline{8}$; м) $0.2\overline{38}$.

а) 0,(3)

Пусть $x = 0,(3)$. Это означает $x = 0,333...$
Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:
$10x = 3,333...$
Теперь вычтем исходное уравнение из полученного:
$10x - x = 3,333... - 0,333...$
$9x = 3$
Решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{3}{9}$
Сократим дробь:
$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) 0,(8)

Пусть $x = 0,(8) = 0,888...$
Умножим на 10: $10x = 8,888...$
Вычтем $x$ из $10x$:
$10x - x = 8,888... - 0,888...$
$9x = 8$
$x = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

в) 0,(5)

Пусть $x = 0,(5) = 0,555...$
Умножим на 10: $10x = 5,555...$
Вычтем $x$ из $10x$:
$10x - x = 5,555... - 0,555...$
$9x = 5$
$x = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

г) 0,(13)

Пусть $x = 0,(13) = 0,131313...$
В периоде две цифры, поэтому умножим на 100:
$100x = 13,131313...$
Вычтем $x$ из $100x$:
$100x - x = 13,1313... - 0,1313...$
$99x = 13$
$x = \frac{13}{99}$

Ответ: $\frac{13}{99}$

д) 0,(27)

Пусть $x = 0,(27) = 0,272727...$
Умножим на 100: $100x = 27,2727...$
Вычтем $x$ из $100x$:
$100x - x = 27,2727... - 0,2727...$
$99x = 27$
$x = \frac{27}{99}$
Сократим дробь на 9:
$x = \frac{27 \div 9}{99 \div 9} = \frac{3}{11}$

Ответ: $\frac{3}{11}$

е) 0,(45)

Пусть $x = 0,(45) = 0,454545...$
Умножим на 100: $100x = 45,4545...$
Вычтем $x$ из $100x$:
$100x - x = 45,4545... - 0,4545...$
$99x = 45$
$x = \frac{45}{99}$
Сократим дробь на 9:
$x = \frac{45 \div 9}{99 \div 9} = \frac{5}{11}$

Ответ: $\frac{5}{11}$

ж) 0,(123)

Пусть $x = 0,(123) = 0,123123...$
В периоде три цифры, умножим на 1000:
$1000x = 123,123123...$
Вычтем $x$ из $1000x$:
$1000x - x = 123,123... - 0,123...$
$999x = 123$
$x = \frac{123}{999}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{123 \div 3}{999 \div 3} = \frac{41}{333}$

Ответ: $\frac{41}{333}$

з) 0,(456)

Пусть $x = 0,(456) = 0,456456...$
Умножим на 1000: $1000x = 456,456456...$
Вычтем $x$ из $1000x$:
$1000x - x = 456,456... - 0,456...$
$999x = 456$
$x = \frac{456}{999}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{456 \div 3}{999 \div 3} = \frac{152}{333}$

Ответ: $\frac{152}{333}$

и) 0,(1999)

Пусть $x = 0,(1999) = 0,19991999...$
В периоде четыре цифры, умножим на 10000:
$10000x = 1999,1999...$
Вычтем $x$ из $10000x$:
$10000x - x = 1999,1999... - 0,1999...$
$9999x = 1999$
$x = \frac{1999}{9999}$

Ответ: $\frac{1999}{9999}$

к) 0,5(7)

Пусть $x = 0,5(7) = 0,5777...$
Умножим на 10, чтобы часть до периода оказалась слева от запятой:
$10x = 5,777...$
Умножим на 100, чтобы сдвинуть один период влево:
$100x = 57,777...$
Вычтем первое уравнение из второго:
$100x - 10x = 57,777... - 5,777...$
$90x = 52$
$x = \frac{52}{90}$
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{26}{45}$

Ответ: $\frac{26}{45}$

л) 0,23(8)

Пусть $x = 0,23(8) = 0,23888...$
Умножим на 100, чтобы непериодическая часть (23) оказалась слева от запятой:
$100x = 23,888...$
Умножим на 1000, чтобы сдвинуть один период (8) влево:
$1000x = 238,888...$
Вычтем первое уравнение из второго:
$1000x - 100x = 238,888... - 23,888...$
$900x = 215$
$x = \frac{215}{900}$
Сократим дробь на 5:
$x = \frac{215 \div 5}{900 \div 5} = \frac{43}{180}$

Ответ: $\frac{43}{180}$

м) 0,2(38)

Пусть $x = 0,2(38) = 0,2383838...$
Умножим на 10: $10x = 2,3838...$
Период состоит из двух цифр, поэтому умножим $10x$ на 100 (или исходное $x$ на 1000):
$1000x = 238,3838...$
Вычтем первое уравнение из второго:
$1000x - 10x = 238,3838... - 2,3838...$
$990x = 236$
$x = \frac{236}{990}$
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{236 \div 2}{990 \div 2} = \frac{118}{495}$

Ответ: $\frac{118}{495}$