Номер 505, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

505. Пусть $a < 0$. Докажите методом математической индукции, что:

а) $a^n > 0$ для любого чётного натурального $n$;

б) $a^n < 0$ для любого нечётного натурального $n$.

Дано, что $a < 0$.

a) Докажем утверждение, что $a^n > 0$ для любого чётного натурального $n$ методом математической индукции.
Любое чётное натуральное число $n$ можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}$). Таким образом, мы доказываем, что $a^{2k} > 0$ для любого $k \ge 1$.

1. База индукции.

Проверим утверждение для наименьшего чётного натурального числа, $n=2$ (что соответствует $k=1$).

При $n=2$, имеем $a^2 = a \cdot a$. Так как по условию $a < 0$, то произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Следовательно, $a^2 > 0$.

База индукции верна.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что утверждение верно для некоторого произвольного чётного натурального числа $n=2k$, где $k \ge 1$. То есть, предположим, что $a^{2k} > 0$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что утверждение верно и для следующего чётного натурального числа, то есть для $n = 2(k+1) = 2k+2$. Нам нужно доказать, что $a^{2k+2} > 0$.

Рассмотрим выражение $a^{2k+2}$:

$a^{2k+2} = a^{2k} \cdot a^2$

Согласно индукционному предположению, $a^{2k} > 0$. Из базы индукции мы знаем, что $a^2 > 0$. Произведение двух положительных чисел ($a^{2k}$ и $a^2$) также является положительным числом.

Следовательно, $a^{2k+2} > 0$.

Вывод.

Так как база индукции верна и индукционный шаг доказан, то по принципу математической индукции утверждение $a^n > 0$ верно для любого чётного натурального числа $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажем утверждение, что $a^n < 0$ для любого нечётного натурального $n$ методом математической индукции.
Любое нечётное натуральное число $n$ можно представить в виде $n = 2k-1$, где $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}$). Таким образом, мы доказываем, что $a^{2k-1} < 0$ для любого $k \ge 1$.

1. База индукции.

Проверим утверждение для наименьшего нечётного натурального числа, $n=1$ (что соответствует $k=1$).

При $n=1$, имеем $a^1 = a$. По условию задачи $a < 0$.

База индукции верна.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что утверждение верно для некоторого произвольного нечётного натурального числа $n=2k-1$, где $k \ge 1$. То есть, предположим, что $a^{2k-1} < 0$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что утверждение верно и для следующего нечётного натурального числа, то есть для $n = 2(k+1)-1 = 2k+1$. Нам нужно доказать, что $a^{2k+1} < 0$.

Рассмотрим выражение $a^{2k+1}$:

$a^{2k+1} = a^{2k-1+2} = a^{2k-1} \cdot a^2$

Согласно индукционному предположению, $a^{2k-1} < 0$ (это отрицательное число). Из доказательства в пункте а) мы знаем, что $a^2 > 0$ (это положительное число).

Произведение отрицательного числа ($a^{2k-1}$) и положительного числа ($a^2$) является отрицательным числом.

Следовательно, $a^{2k+1} < 0$.

Вывод.

Так как база индукции верна и индукционный шаг доказан, то по принципу математической индукции утверждение $a^n < 0$ верно для любого нечётного натурального числа $n$.

Ответ: Утверждение доказано.