Номер 511, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

511. Задача аль-Караджи (Иран, XI в.)

Докажите, что для любого натурального $n$ выполняется равенство

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2$

Для доказательства данного тождества, известного как тождество Никомаха, воспользуемся методом математической индукции.

Доказываемое утверждение $P(n)$ имеет вид:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2$

Сумма первых $n$ натуральных чисел в правой части является суммой арифметической прогрессии и равна $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. Подставив это в исходное равенство, получим формулу, которую будем доказывать:

$\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

Доказательство состоит из двух шагов.

Шаг 1: База индукции

Проверим справедливость утверждения для наименьшего натурального числа $n=1$.

Левая часть равенства: $1^3 = 1$.

Правая часть равенства: $(1)^2 = 1$.

Поскольку $1=1$, утверждение $P(1)$ истинно.

Шаг 2: Индукционный переход

Индукционное предположение: предположим, что утверждение $P(k)$ справедливо для некоторого произвольного натурального числа $k \ge 1$. То есть, мы считаем верным равенство:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + k)^2$

или, в другой записи:

$\sum_{i=1}^{k} i^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$

Индукционный шаг: докажем, что из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$. Нам нужно доказать, что:

$1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = (1 + 2 + \dots + k + (k+1))^2$

Рассмотрим левую часть этого равенства. Сгруппируем первые $k$ слагаемых:

$L = (1^3 + 2^3 + \dots + k^3) + (k+1)^3$

Согласно индукционному предположению, заменим сумму в скобках:

$L = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3$

Теперь преобразуем это выражение. Раскроем скобки и вынесем общий множитель $(k+1)^2$:

$L = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = (k+1)^2 \left(\frac{k^2}{4} + (k+1)\right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$L = (k+1)^2 \left(\frac{k^2 + 4(k+1)}{4}\right) = (k+1)^2 \left(\frac{k^2 + 4k + 4}{4}\right)$

Выражение $k^2 + 4k + 4$ является полным квадратом $(k+2)^2$. Тогда:

$L = (k+1)^2 \frac{(k+2)^2}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

Это выражение можно записать как квадрат дроби:

$L = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2$

Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства для $n=k+1$. Сумма в скобках — это сумма первых $k+1$ натуральных чисел:

$R = (1 + 2 + \dots + k + (k+1))^2 = \left(\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2$

Мы видим, что преобразованная левая часть $L$ равна правой части $R$. Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для $k$, то оно верно и для $k+1$.

Поскольку оба шага метода математической индукции выполнены, исходное равенство справедливо для любого натурального числа $n$.

Ответ: Равенство $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2$ доказано для всех натуральных $n$.